Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，D为AB延长线上一点，DC=AC，∠ACD=120°，BD=10．
（1）判断DC是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）求扇形BOC的面积．

Answer 1

分析：（1）DC是⊙O的切线．根据△ACD，△AOC为等腰三角形，∠ACD=120°，利用三角形内角和定理求∠OCD=90°即可；
（2）由（1）可知，∠COD=60°，在Rt△OCD中，已知BD=10，利用解直角三角形的方法求半径，再利用扇形面积公式求解．

解答：解：（1）DC是⊙O的切线．
理由：∵DC=AC，
∴∠CAD=∠D，
又∵∠ACD=120°，
∴∠CAD=

1

2

（180°-∠ACD）=30°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°，
又∵∠D=30°，
∴∠OCD=180°-∠COD-∠D=90°，
∴DC是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OCD中，sin∠D=

OC

OD

=

r

r+BD

，
∵∠D=30，BD=10，
∴

r

r+10

=

1

2

，
解得r=10，
∴扇形BOC的面积=

nπr2

360

=

60×π×102

360

=

50π

3

．

点评：本题考查了圆的切线的判定，扇形面积公式的运用．关键是利用已知角，特殊三角形，三角形内角和定理求解．