Question

如图所示，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=75°，AD，CF分别是BC、AB边上的高且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD、CF于M、N．
（1）试找出图中所有的等腰三角形，请直接写出来；
（2）若MD=2cm，求DC的长．

Answer 1

（1）△ADC，△AMB，△BNC，△MNP，△ABE．理由如下：
∵∠ABC=60°，∠BAC=75°，AD，CF分别是BC，AB边上的高
∴∠DAC=45°，
又∵∠ACB=45°
∴△ADC为等腰三角形．
∵∠ABC的平分线BE分别交AD，CF于M，N
∴∠ABM=30°，
又∵∠BAM=30°
∴△AMB为等腰三角形．
由题意可知∵∠NBC=∠NCB=30°
∴△BNC为等腰三角形．
∠PMN=∠MNP=60°
∴△MNP为等腰三角形．
∵∠ABE=30°，∠BAC=75°
∴∠BEA=75°
∴△ABE为等腰三角形．

（2）在直角三角形BDM中，
∵MD=2cm，∠MBD=30°
∴BM=4cm
在等腰△AMB中，BM=AM
则AD=AM+MD=6cm，
在等腰直角三角形ADC中
AD=DC
则DC=6cm．