Question

如图，正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H．
（1）求证：AH=EH；
（2）若正方形ABCD的边长为3，求DH的长．

Answer 1

分析：（1）连CH，由正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，根据旋转的性质得到CF=CD，∠DCG=30°，易证得Rt△CFH≌Rt△CDH，则HF=HD，即可得到结论；
（2）由（1）得Rt△CFH≌Rt△CDH，有∠FCH=∠DCH，而∠DCG=30°，得∠DCF=90°-30°=60°，所以∠DCH=30°，而CD=3，利用含30度的直角三角形三边的关系即可求出DH的长．

解答：（1）证明：连CH，如图，
∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，
∴CF=CD，∠DCG=30°，
而CH公共，
∴Rt△CFH≌Rt△CDH，
∴HF=HD，
∴AH=HE；

（2）解：由（1）得Rt△CFH≌Rt△CDH，
∴∠FCH=∠DCH，
而∠DCG=30°，
∴∠DCF=90°-30°=60°，
∴∠DCH=30°，
而正方形ABCD的边长为3，即CD=3，
∵在直角三角形中，三边之比为1：

3

：2．
∴DH=

3

3

DC=

3

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．