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已知二次函数y=
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2
x2+bx+c的图象经过点A(-3,6),并与x轴交于点B(-1,0)和点C,顶点为P.
(1)求这个二次函数的解析式,并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象;
(2)设D为线段OC上的一点,满足∠DPC=∠BAC,求点D的坐标;
(3)在x轴上是否存在一点M,使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切?如果存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)∵二次函数y=
1
2
x2+bx+c的图象过点A(-3,6),B(-1,0),
9
2
-3b+c=6
1
2
-b+c=0

解得
b=-1
c=-
3
2

∴这个二次函数的解析式为:
y=
1
2
x2-x-
3
2
.(4分)
由解析式可求P(1,-2),C(3,0),(5分)
画出二次函数的图象;(6分)

(2)解法一:
易证:∠ACB=∠PCD=45°,
又已知:∠DPC=∠BAC,
∴△DPC△BAC,(8分)
DC
BC
=
PC
AC

易求AC=6
2
,PC=2
2
,BC=4,
∴DC=
4
3

∴OD=3-
4
3
=
5
3

∴D(
5
3
,0).(10分)
解法二:过A作AE⊥x轴,垂足为E,
设抛物线的对称轴交x轴于F,
亦可证△AEB△PFD,(8分)
PE
PF
=
EB
FD

易求:AE=6,EB=2,PF=2,
∴FD=
2
3

∴OD=
2
3
+1=
5
3

∴D(
5
3
,0);(10分)

(3)存在.
①过M作MH⊥AC,MG⊥PC垂足分别为H、G,设AC交y轴于S,CP的延长线交y轴于T,
∵△SCT是等腰直角三角形,M是△SCT的内切圆圆心,
∴MG=MH=OM,(11分)
又∵MC=
2
OM且OM+MC=OC,
2
OM+OM=3,
得OM=3
2
-3,
∴M(3
2
-3,0)(12分)
②在x轴的负半轴上,存在一点M′,
同理OM′+OC=M′C,OM′+OC=
2
OM′
得OM′=3
2
+3
∴M′(-3
2
-3,0)
(14分)
即在x轴上存在满足条件的两个点.
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(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式;
(2)判断△BDC的形状,并给出证明;当P在什么位置时,以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形,并求出此时点P的坐标;
(3)若抛物线的顶点为N,连接QN,探究四边形PMNQ的形状:①能否成为菱形;②能否成为等腰梯形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由.

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(1)求这个抛物线的解析式;
(2)在抛物线上存在点M,是△MAB是以AB为底边的等腰三角形,求点M的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点P使得△PAC的面积是△ABC面积的
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?若存在,试求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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(2)当t为何值时,PQ平行于y轴;
(3)当四边形PQBC的面积等于14时,求t的值.

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(1)直接写出抛物线解析式;
(2)如图,将抛物线向右平移k个单位,设平移后抛物线的顶点为D,与x轴的交点为A、B,与原抛物线的交点为P.
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(3)正方形EFGH第一次充满正方形ABCD之前(即x≤7时),何时正方形EFGH和正方形MNPQ重叠部分的面积为3平方单位.

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,试求m的值;
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