Question

如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F．
（1）判断△AFC与△BFA是否相似，并说明理由，
（2）DF是FB、FC的比例中项吗？为什么？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用角平分线的定义及线段垂直平分线的性质可证得∠CAF=∠ABF，结合公共角，可证明△AFC∽△BFA；
（2）是，利用（1）的结论结合线段垂直平分线的性质可得AF=DF，代入可证得结论．

解答：解：（1）相似，理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵F在线段AD的垂直平分线上，
∴DF=AF，
∴∠DAF=∠ADF，
∴∠B+∠BAD=∠DAC+∠CAF，
∴∠CAF=∠B，且∠AFC=∠BFA，
∴△AFC∽△BFA；
（2）DF是线段FB、FC的比例中项，理由如下：
由（1）△AFC∽△BFA，
∴

AF

FB

=

FC

AF

，即AF²=FB•FC，
又∵F在线段AD的垂直平分线上，
∴DF=AF，
∴DF²=FB•FC，
即DF是线段FB、FC的比例中项．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用线段垂直平分线的性质得到DF=AF是解题的关键．