Question

8．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心作⊙O分别交x轴，y轴于A，C和B，D，点M（4，3）为⊙O上一点，过M的直线y=kx+b（k＜0）交x轴于点P，交y轴于点Q．
（1）若直线y=kx+b（k＜0）是⊙O的切线，求k，b的值；
（2）若y=kx+b（k＜0）与$\widehat{BM}$的另一个交点为N，直接写出k的范围．

Answer 1

分析 （1）如图，作ME⊥OQ于E，MF⊥OA于F．利用相似三角形的性质求出点P、Q两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）观察图象即可判断．

解答 解：（1）如图，作ME⊥OQ于E，MF⊥OA于F．

∵M（4，3），
∴OM=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OM⊥PQ，
∴△OMF∽△OPM，
∴OM²=OF•OP，
∴OP=$\frac{25}{4}$，
∴P（$\frac{25}{4}$，0），
同理可得：OM²=OE•OQ，
∴OQ=$\frac{25}{3}$，
∴Q（0，$\frac{25}{3}$），
把P、Q两点坐标代入y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{25}{3}}\\{\frac{25}{4}k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{25}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线PQ的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{3}$．

（2）观察图象可知，满足条件的k的范围为-$\frac{4}{3}$＜k＜0．

点评 本题考查切线的性质、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．