Question

已知关于x的一元四次方程x⁴+px²+qx+r=0有三个相等的实根和另一个与之不同的实根，则下列三个命题中真命题有（　　）个
①p+q=r可能成立；②p+r=q可能成立；③q+r=p可能成立．

A、0

B、1

C、2

D、3

Answer 1

分析：设三个相等的根为m，另一个与之不同的根为n，则（x-m）³（x-n）=0，展开得：x⁴-（3m+n）x³+（3m²+2m+mn）x²-（m³+3m²n）x+m³n=0，根据对应项系数相等即可得出答案．

解答：解：设三个相等的根为m，另一个与之不同的根为n，则（x-m）³（x-n）=0，
展开得：x⁴-（3m+n）x³+（3m²+2m+mn）x²-（m³+3m²n）x+m³n=0，
∴根据对应项系数相等：3m+n=0，3m²+2m+mn=p，-（m³+3m²n）=q，m³n=r，
把n=-3m代入得：p=2m，q=8m³，r=-3m⁴，
故当m＜0时，p＜0，q＜0，r＜0，
当m＞0时，p＞0，q＞0，r＜0，
故p+r=q可能成立，q+r=p可能成立．
故选C．

点评：本题考查了高次方程，难度较大，关键是设出方程的根，根据对应项系数相等求出p，q，r的关系．