Question

27、如图，AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线分别交AB、BC的延长线于点F、E
求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．

Answer 1

分析：（1）、由中垂线的性质知，DE=AE，由等边对等角知，∠EAD=∠EDA
（2）、由中垂线的性质知，FD=FA?∠FDA=∠FAD，由AD平分∠BAC?∠FAD=∠DAC，∠FDA=∠DAC?DF∥AC
（3）、由三角形的外角与内角的关系知，∠EAD=∠DAC+∠CAE，∠EDA=∠B+∠BAD，而∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠DAC，故有∠EAC=∠B．

解答：证明：（1）∵EF是AD的中垂线，
∴DE=AE．
∴∠EAD=∠EDA．

（2）∵EF为中垂线，
∴FD=FA．
∴∠FDA=∠FAD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠DAC，
所以∠FDA=∠DAC．
∴DF∥AC．

（3）∵∠EAD=∠EDA，∠EAD=∠DAC+∠CAE，∠EDA=∠B+∠BAD，
∴∠DAC+∠CAE=∠B+∠BAD，
∵∠FAD=∠DAC，
∴∠EAC=∠B．

点评：本题利用了中垂线的性质，等边对等角，三角形的外角与内角的关系求解．