Question

21、如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，∠A=∠D=30°．
（1）判断DC是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）证明：△AOC≌△DBC．

Answer 1

分析：（1）因为C点在圆上，所以只需证明OC⊥CD即可．可先求出∠ACD=120°，∠ACO=∠A=30°，所以∠OCD=90°．得证；
（2）证明△OBC为等边三角形，运用“SSS”判定全等．

解答：（1）解：DC是⊙O的切线．
∵∠A=∠D=30°，
∴AC=CD，∠ACD=120°．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切线．

（2）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=120°-90°=30°=∠D，
∴BC=BD．
∵∠CBO=2∠D=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，则BC=OC，
∴△AOC≌△DBC．（SSS）

点评：此题考查了切线的判定、全等三角形的判定及等腰三角形的判定等知识点，难度中等．