【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,O)、C(3,0),点B为抛物线顶点,直线BD为抛物线的对称轴,点D在x轴上,连接AB、BC.
⑴如图1,若∠ABC=60°,则点B的坐标为______________;
⑵如图2,若∠ABC=90°,AB与y轴交于点E,连接CE.
①求这条抛物线的解析式;
②点P为第一象限抛物线上一个动点,设△PEC的面积为S,点P的横坐标为m,求S关于m的函数关系武,并求出S的最大值;
③如图3,连接OB,抛物线上是否存在点Q,使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD,若存在请直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1) ;(2)① ;② ,S的最大值;③或.
【解析】
(1)∠ABC=60°,故△ABC为等边三角形,即可求解;
⑵①点B的坐标为(1,2),抛物线的表达式为:y=a(x-1)2+2,将点A的坐标代入上式,即可求解;
②分别求出直线AB、CE的表达式,过点P作PH∥y轴交EC于点H,用含m的式子表示出PH和OC,根据列出函数关系式并求出最值即可;
③在BD上作点F,使DF=BD,连接CF.过点F作FG∥x轴,分别交CQ于点M、交BC的延长线于点G,过点M作MH⊥CE于点H,则△CFG为等腰直角三角形,设HG=MH=n,求出,得到点M坐标为,进一步求出直线CM的表达式为:y=-3x+9;再将直线CM解析式与抛物线解析式联立成方程组,求解得点Q的坐标.
解:(1)∠ABC=60°,故△ABC为等边三角形,
AC=4,则
函数对称轴为x=1,故点B
故答案是;
(2)①AC=4,则点B的坐标为(1,2),
抛物线的表达式为:y=a(x-1)2+2,
将点A的坐标代入上式得:0=a(-2)2+2,解得:
函数的表达式为:;
②将点A、B坐标代入一次函数表达式:y=kx+b得:
解得:
直线AB的表达式为:y=x+1,则点E(0,1),
同理可得直线CE的表达式为:
过点P作PH∥y轴交EC于点H,
则点,点
则
∴S有最大值,当时,最大值为:
③存在,点Q的坐标为或.
理由:
如图3,在BD上作点F,使DF=BD,连接CF.过点F作FG∥x轴,分别交CQ于点M、交BC的延长线于点G,过点M作MH⊥CE于点H,则△CFG为等腰直角三角形,
∵AC=4,则
,QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD,即:
设:HG=MH=n,则CH=2n,即
则点M坐标为
可解得直线CM的表达式为:y=-3x+9
将直线CM解析式与抛物线解析式联立成方程组,并解得或
即点Q的坐标为或
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,OD∥BC交⊙D于点D,交AC于点E,连接AD,BD,CD若AB=10,cos∠ABC=,则tan∠DBC的值是( )
A.B.C.2D.
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【题目】如图所示,在 10×6 的正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,线段 AB 的端点 A、B 均在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出以 AB 为一腰的等腰△ABC,点 C 在小正方形顶点上,△ABC 为钝角三角形,且△ABC 的面积为;
(2)在图中画出以 AB 为斜边的直角三角形 ABD, 点 D在小正方形的顶点上,且 AD>BD;
(3)连接 CD,请你直接写出线段 CD 的长.
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【题目】已知抛物线顶点A在x轴负半轴上,与y轴交于点B,OB=1,△OAB为等腰直角三角形
(1)求抛物线的解析式
(2)若点C在抛物线上,若△ABC为直角三角形,求点C的坐标
(3)已知直线DE过点(-1,-4),交抛物线于点D、E,过D作DF∥x轴,交抛物线于点F,求证:直线EF经过一个定点,并求定点的坐标
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【题目】一个盒子中有1个白球和2个红球,这些球除颜色外都相同.
⑴如果从盒子中随机摸出1个球,摸出红色球的概率为_____________;
⑵若从盒子中随机摸出一个球,记下颜色后放回,再从中随机摸出一个球,请通过列表或画树状图的方法,求两次摸到不同颜色球的概率.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,直线BM⊥AB于点B,点C在⊙O上,分别连接BC,AC,且AC的延长线交BM于点D,CF为⊙O的切线交BM于点F.
(1)求证:CF=DF;
(2)连接OF,若AB=10,BC=6,求线段OF的长.
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【题目】已知抛物线(为常数).
(1)当该抛物线经过坐标原点,并且顶点在第四象限时,求出它所对应的函数关系式;
(2)设是(1)所确定的抛物线上位于轴下方、且在对称轴左侧的一个动点,过作轴的平行线,交抛物线于另一点,再作轴于,轴于.
①当时,求矩形的周长;
②试问矩形的周长是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值,并指出此时点的坐标.如果不存在,请说明理由.
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【题目】平面直角坐标系中,点O是坐标原点,抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A、B两点,点B的坐标为(4,0),与y轴交于点C,直线y=kx+2经过A、C两点.
(1)如图1,求a、c的值;
(2)如图2,点P为抛物线y=ax2+x+c在第一象限的图象上一点,连接AP、CP,设点P的橫坐标为t,△ACP的面积为S,求S与t的函数解析式,并直接写出自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,点D为线段AC上一点,直线OD与直线BC交于点E,点F是直线OD上一点,连接BP、BF、PF、PD,BF=BP,∠FBP=90°,若OE=,求直线PD的解析式.
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【题目】如图,在河对岸有一棵大树 A,在河岸 B 点测得 A 在北偏东 60°方向上,向东前进 200m 到达 C 点,测得 A 在北偏东 30°方向上,求河的宽度(精确到 0.1m).参考数据 ≈1.414,≈1.732.
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