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【题目】如图,抛物线yax2bxcx轴交于点A(-1O)、C30),点B为抛物线顶点,直线BD为抛物线的对称轴,点Dx轴上,连接ABBC.

⑴如图1,若∠ABC60°,则点B的坐标为______________;

⑵如图2,若∠ABC90°,ABy轴交于点E,连接CE.

①求这条抛物线的解析式;

②点P为第一象限抛物线上一个动点,设△PEC的面积为S,点P的横坐标为m,求S关于m的函数关系武,并求出S的最大值;

③如图3,连接OB,抛物线上是否存在点Q,使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD,若存在请直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】1 ;(2)① ;②S的最大值;③.

【解析】

1)∠ABC=60°,故ABC为等边三角形,即可求解;

⑵①点B的坐标为(12),抛物线的表达式为:y=ax-12+2,将点A的坐标代入上式,即可求解;

②分别求出直线ABCE的表达式,过点PPHy轴交EC于点H,用含m的式子表示出PHOC,根据列出函数关系式并求出最值即可;

③在BD上作点F,使DF=BD,连接CF.过点FFGx轴,分别交CQ于点M、交BC的延长线于点G,过点MMHCE于点H,则CFG为等腰直角三角形,设HG=MH=n,求出,得到点M坐标为,进一步求出直线CM的表达式为:y=-3x+9;再将直线CM解析式与抛物线解析式联立成方程组,求解得点Q的坐标.

解:(1)∠ABC=60°,故ABC为等边三角形,
AC=4,则

函数对称轴为x=1,故点B

故答案是

2)①AC=4,则点B的坐标为(12),

抛物线的表达式为:y=ax-12+2
将点A的坐标代入上式得:0=a-22+2,解得:

函数的表达式为:

②将点AB坐标代入一次函数表达式:y=kx+b得:

解得:

直线AB的表达式为:y=x+1,则点E01),
同理可得直线CE的表达式为:

过点PPHy轴交EC于点H


则点,点

S有最大值,当时,最大值为:

③存在,点Q的坐标为.

理由:

如图3,在BD上作点F,使DF=BD,连接CF.过点FFGx轴,分别交CQ于点M、交BC的延长线于点G,过点MMHCE于点H,则CFG为等腰直角三角形,

AC=4,则

QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD,即:

设:HG=MH=n,则CH=2n,即

则点M坐标为

可解得直线CM的表达式为:y=-3x+9

将直线CM解析式与抛物线解析式联立成方程组,并解得

即点Q的坐标为

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