Question

如图1，直线L：y=kx+5k与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．
（1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；
（2）在（1）的条件下，如图2，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求M点的坐标；
（3）当k取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点．问：当点B在　y轴上运动时，试猜想△ABP的面积是否为改变？若是，说明理由．
（4）当k取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，以AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABE，则动点E在直线

 

上运动．（直接写出直线的表达式）

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由直线L解析式，求出A与B坐标，根据OA=OB，求出m的值，即可确定出直线L解析式；
（2）由OA=OB，对顶角相等，且一对直角相等，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用对应线段相等求长度，然后过点M作MH⊥OA，易得△OMH∽△OAM，然后由相似三角形的对应边成比例，求得M点的坐标；
（3）如图，作EK⊥y轴于K点，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形对应边相等得到OA=BK，EK=OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，寻找相等线段，并进行转化，求得PB的长，继而求得△ABP的面积；
（4）由（3）可得OA=BK=5，EK=OB=5k，则可得OK=OB+BK=5k+5，即可得点E（-5k，5k+5），继而可知动点E在直线y=-x+5上运动．

解答：解：（1）∵直线L：y=kx+5k与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，
∴A（-5，0），B（0，5k），
由OA=OB，得5k=5，k=1，
∴直线解析式为：y=x+5；

（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵∠AOM+∠BON=90°，
∴∠OAM=∠BON，
在△AMO与△ONB中，

∠OAM=∠BON ∠AMO=∠BNO OA=OB

，
∴△AMO≌△ONB（AAS），
∴AM=ON=4，
∴BN=OM=3，
过点M作MH⊥OA，
则△OMH∽△OAM，
∴

OH

OM

=

OM

OA

=

MH

AM

，
∴

OH

3

=

3

5

=

MH

4

，
解得：OH=

9

5

，MH=

12

5

，
∴点M的坐标为：（-

9

5

，-

12

5

）；

（3）△ABP的面积不改变．
理由：如图，作EK⊥y轴于K点，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AB=BE，∠ABE=90°，
∴∠EBK+∠ABO=90°，
∵∠EBK+∠BEK=90°，
∴∠ABO=∠BEK，
在△AOB和△BKE中，

∠BKE=∠AOB=90° ∠ABO=∠BEK AB=BE

，
∴△AOB≌△BKE（AAS），
∴OA=BK，EK=OB，
∵△OBF为等腰直角三角形，
∴OB=BF，
∴EK=BF，
在△EKP和△FBP中，

∠EKP=∠PBF=90° ∠KPE=∠BPF EK=FB

，
∴△PBF≌△PKE（AAS），
∴PK=PB，
∴PB=

1

2

BK=

1

2

OA=

5

2

，
∴S_△ABP=

1

2

BP•OA=

1

2

×

5

2

×5=

25

4

；

（4）如图3，∵A（-5，0），B（0，5k），
∴OA=BK=5，EK=OB=5k，
∴OK=OB+BK=5k+5，
∴点E（-5k，5k+5），
∵动点E在直线y=-x+5上运动．
故答案为：y=-x+5．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．