Question

7．△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．
（1）如图1，求证：DE•CD=DF•BE
（2）D为BC中点如图2，连接EF．
①求证：ED平分∠BEF；
②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及$\frac{AE}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根据题意得出△BDE∽△CFD，再由相似三角形的性质即可得出结论；
（2）①根据相似三角形的性质得到$\frac{BE}{CD}=\frac{DE}{DF}$，推出△BDE∽△DEF，根据相似三角形的性质即可得到结论；②由四边形AEDF为菱形，得到∠AEF=∠DEF，于是得到∠AEF=60°，推出△ABC是等边三角形，△BED是等边三角形，得到BE=DE，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∠EDF=∠B，
∴∠FDC=∠DEB，
∴△BDE∽△CFD，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{BE}{CD}$，
即DE•CD=DF•BE；
（2）解：①由（1）证得△BDE∽△CFD，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{DE}{DF}$，
∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∴$\frac{BE}{BD}$=$\frac{DE}{DF}$，
∵∠B=∠EDF，
∴△BDE～△DFE，
∴∠BED=∠DEF，
∴ED平分∠BEF；

②∵四边形AEDF为菱形，
∴∠AEF=∠DEF，
∵∠BED=∠DEF，
∴∠AEF=60°，
∵AE=AF，
∴∠BAC=60°，
∵∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴△BED是等边三角形，
∴BE=DE，
∵AE=DE，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．