Question

3．在直角坐标系中，已知A（-2，1），B（0，1），C（-1，0），D（-4，-2），E（1，-2）五个点，抛物线m：y=ax²+2ax+h+a（a，h为常数，且a＜0）经过其中三个点．
（1）将抛物线y=ax²+2ax+h+a（a，h为常数，且a＜0）的解析式写成“y=a（x-h）²+k”的形式，并写出其顶点坐标和对称轴（可含a，h）
（2）试探究：是否存在点C在抛物线m上的情形？若不存在，请说明理由；若存在，求出在此情况下的a，h的值．
（3）求a和h的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法将抛物线y=ax²+2ax+h+a（a，h为常数，且a＜0）的解析式写成“y=a（x-h）²+k”的形式，根据该形式下的抛物线解析式写出顶点坐标和对称轴（可含a，h）；
（2）根据已知点的坐标特征和抛物线的对称性得到：点A、B同时在抛物线上或同时不在抛物线上；点D、E所对应的y值相等，则点D、E同时在抛物线上或同时不在抛物线上．所以把点C的坐标代入抛物线解析式，利用“抛物线m经过其中三个点”进行推理即可；
（3）利用（2）的推理过程，把点B、E或B、D代入函数解析式，借助于方程组来求系数a和h的值．

解答 解：（1）y=ax²+2ax+h+a=a（x+1）²+h，即抛物线m为：y=a（x+1）²+h，
所以其项点坐标是（-1，h） 对称轴是x=-1；

（2）不存在．理由如下：
由（1）知，抛物线m的对称轴为x=-1．
∵D（-4，-2），E（1，-2），则点D、E的纵坐标相等，所以点D、E同时在抛物线上或同时不在抛物线上．
假设点D、E同时在抛物线上，则该抛物线的对称轴是x=-1.5，与对称轴为x=-1矛盾，
所以，点D、E不能同时在抛物线m上．
∵A（-2，1）与B（0，1）关于直线x=-1对称，
∴点A、B同时在抛物线上或同时不在抛物线上．
假设存在点C在抛物线m上的情形，则把点C（-1，0）代入，得
h=0，
则y=a（x+1）²≤0，
∴A、B两点不可能同时在抛物线上．
即不满足存在三个点在抛物线的条件，
∴不存在点C在抛物线m上的情形；

（3）由（2）知，点A、B能同时在抛物线m上，点D、E不能同时在抛物线m上，点C不能在抛物线m上．
假设点E在抛物线m上，则把点B、E的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{1=h+a\\}\\{-2=4a+h\\}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{h=2}\end{array}\right.$；
假设点D在抛物线m上，则把点B、D的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{1=h+a}\\{-2=9a+h}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{h=\frac{11}{8}}\end{array}\right.$．
综上所述，a=-1，h=2或a=-$\frac{3}{8}$，h=$\frac{11}{8}$．

点评 本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的对称性，二次函数解析式的三种形式以及二次函数图象上点的坐标特征．另外，解答（3）题时，要分类讨论，分点A、B、E同时在抛物线m上和点A、B、D同时在抛物线m上两种情形下的a、h的值．