Question

实验显示：某种药物在释放过程中，血液中每毫升的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t成反比例．据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）据测定，当血液中每毫升的含药量降低到0.3毫克以下时，药效将明显降低，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，药效将明显降低？
（3）当血液中每毫升的含药量y达到0.75毫克时药物才明显有效，问药物的明显有效时间为多少？

Answer 1

考点：反比例函数的应用

专题：溶液问题,待定系数法

分析：（1）首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=

a

t

（a为常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）根据（1）中的关系式列不等式，进一步求解可得答案．
（3）把y=0.75代入两个函数求得x值相减即可求得有效时间．

解答：解：（1）将点P（3，

1

2

）代入函数关系式y=

a

t

，
解得a=

3

2

，有y=

3

2t

，
将y=1代入y=

3

2t

，得t=

3

2

，
所以所求反比例函数关系式为y=

3

2t

（t≥

3

2

），
再将（

3

2

，1）代入y=kt，得k=

2

3

，
所以所求正比例函数关系式为y=

2

3

t（0≤t≤

3

2

）．

（2）解不等式

3

2t

＜0.3，
解得t＞5，
所以至少需要经过5小时后，药效将明显降低．

（3）把y=0.75代入到y=

3

2t

和y=

2

3

t，
解得：t=2和t=1.125，
∴药物的明显有效时间为：2-1.125=0.875小时．

点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．