Question

（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，E是AD上一点，EC∥AB，EB∥CD，若S_△DEC=1，S_△ABE=3，则S_△BCE=______；若S_△DEC=S₁，S_△ABE=S₂，S_△BCE=S，请直接写出S与S₁、S₂间的关系式：______；
（2）如图2，△ABC、△DCE、△GEF都是等边三角形，且A、D、G在同一直线上，B、C、E、F也在同一直线上，S_△ABC=4，S_△DCE=9，试利用（1）中的结论得△GEF的面积为______．

Answer 1

解：（1）∵EC∥AB，
∴∠A=∠CED，
又∵EB∥CD，
∴∠AEB=∠D，
∴△ABE∽△ECD，
∴S_△ABE：S_△ECD=BE²：CD²=3：1，
∴BE：CD=：1，
又∵CD∥BE，
∴S_△BCE：S_△DEC=BE：CD=，
∴S_△BCE=S_△DEC=；
同上面的求法一样可得到：S²=S₁•S₂；

（2）∵△ABC、△DCE、△GEF都是等边三角形，
∴AB∥DC∥GE，AC∥DE∥GF，
由（1）结论得到：S_△ACD²=S_△ABC•S_△ECD①，S_△DCE²=S_△ACD•S_△DEG②，S_△EGD²=S_△DCE•S_△GEF③，
而S_△ABC=4，S_△DCE=9，
由①得S_△ACD²=4×9=36，
∴S_△ACD=6，
由②得，9²=6×S_△DEG，
∴S_△DEG=，
由③得，（）²=9S_△GEF，
∴S_△GEF=．
故答案为，S²=S₁•S₂；．
分析：（1）根据平行线的性质可得，∠A=∠CED，∠AEB=∠D，则△ABE∽△ECD；作AF⊥BE垂足为F，CG⊥BE垂足为G，根据已知得AF：CG=3：2，再由相似三角形的面积之比等于相似比的平方，得出答案即可．
（2）利用等边三角形的性质易得AB∥DC∥GE，AC∥DE∥GF，由此根据（1）中的结论可得到S_△ACD²=S_△ABC•S_△ECD①，S_△DCE²=S_△ACD•S_△DEG②，S_△EGD²=S_△DCE•S_△GEF③，然后把S_△ABC=4，S_△DCE=9代入依次进行计算即可求出△GEF的面积．
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了三角形的面积公式，特别是等高的两三角形面积的比等于底边的比．