Question

（2003•甘肃）如图，△ABC是圆内接正三角形，P为劣弧BC上一点，已知AB=，PA=6．
（1）求证：PB+PC=PA；
（2）求PB、PC的长（PB＜PC）．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接PB，在PA上截取PE=PB，连接BE，则有△BEP是等边三角形，由SAS证得△ABE≌△CBP，则AE=CP，得到AP=AE+PE=PB+PC；
（2）由于∠APB=∠ACB=60°，因此可用余弦定理求解．
解答：（1）证明：连接PB，在PA上截取PE=PB，连接BE；
∵△ABC是等边三角形，∠ACB=∠APB，
∴∠ACB=∠APB=60°，AB=BC；
∴△BEP是等边三角形，BE=PE=PB；
∴∠ACB-∠EBC=∠APB-∠EBC=60°-∠EBC；
∴∠ABE=∠CBP；
∵在△ABE与CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP；
∴AE=CP；
∴AP=AE+PE=PB+PC．

（2）解：由余弦定理知，PB²+AP²-AB²=2PA•PB•cos∠APB；
PB²+36-28=6AB，PB²-6PB+8=0；
解得PB=4或PB=2；
∵PB＜PC，
∴PB取2，
∴PC=4，PB=2．
点评：本题通过构造等边三角形，利用等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、余弦定理等知识求解．