Question

10．如图，已知直线l₁：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴y轴分别交于A，B两点，C（2，2$\sqrt{3}$）．
（1）求出A、B两点坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线AB下方，是否能找到点P，使得S_△PBA=S_△ABC？若能，请在图中画出所有满足条件的P点所构成的图象，并写出该图象的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）在y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$中，令x=0，则y=$\sqrt{3}$，令y=0，则x=1，于是得到距离；
（2）如图1，过C作CD⊥x轴于D，根据C（2，2$\sqrt{3}$），于是得到OD=2，CD=2$\sqrt{3}$，即可求得S_△ABC=S_梯形BODC-S_△ABO-S_△ACD=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}+2\sqrt{3}$）×2-$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（3）如图2所示，根据S_△PBA=S_△ABC，于是得到所有满足条件的P点所构成的图象是一条平行于AB且到AB的距离等于点C到AB的距离的直线，设这条直线的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+b，根据点到直线的距离公式得到C到直线AB的距离为：$\frac{|\sqrt{3}×2+1×2\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，根据点A到直线y=-$\sqrt{3}$x+b的距离=C到直线AB的距离，求出b=-4$\sqrt{3}$，即可求得结论．

解答 解：（1）在y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$中，
令x=0，则y=$\sqrt{3}$，令y=0，则x=1，
∴A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），

（2）如图1，过C作CD⊥x轴于D，
∵C（2，2$\sqrt{3}$），
∴OD=2，CD=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=S_梯形BODC-S_△ABO-S_△ACD=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}+2\sqrt{3}$）×2-$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；

（3）如图2所示，
∵S_△PBA=S_△ABC，
∴所有满足条件的P点所构成的图象是一条平行于AB且到AB的距离等于点C到AB的距离的直线，
设这条直线的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+b，
∵C到直线AB的距离为：$\frac{|\sqrt{3}×2+1×2\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴点A到直线y=-$\sqrt{3}$x+b的距离=C到直线AB的距离，
∴$\frac{|\sqrt{3}×1+b|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵b＜0，
∴b=-4$\sqrt{3}$，
∴该图象的函数关系式为：y=-$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了一次函数的性质，求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，根据函数的解析式求点的坐标，点到直线的距离公式，根据题目所给信息得到所有满足条件的P点所构成的图象是一条直线是解题的关键．