Question

8．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-3，2），B（0，-2），其对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$，C（0，$\frac{1}{2}$）为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）作EP∥y轴交AD于P，如图1，先利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，再通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{6}{x}^{2}-\frac{5}{6}x-2}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$得D（5，-2），设E（x，$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x-2）（-3＜x＜5），则P（x，-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$），所以PE=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{2}$，根据三角形面积公式和S_△AED=S_△AEP+S_△DEP可得S_△AED=-$\frac{2}{3}$（x-1）²+$\frac{32}{3}$，然后根据二次函数的最值问题求出△ADE的面积最大，且求出对应的E点坐标；
（3）设F（$\frac{5}{2}$，t），根据两点间的距离公式得到AD²=（5+3）²+（-2-2）²=80，AF²=（$\frac{5}{2}$+3）²+（t-2）²，DF²=（5-$\frac{5}{2}$）²+（-t-2）²，然后根据勾股定理的逆定理分类讨论：当AD²+AF²=DF²，△ADF是直角三角形，则80+（$\frac{5}{2}$+3）²+（t-2）²=（5-$\frac{5}{2}$）²+（-t-2）²；当AD²+DF²=AF²，△ADF是直角三角形，则80+（5-$\frac{5}{2}$）²+（-t-2）²=（$\frac{5}{2}$+3）²+（t-2）²；当DF²+AF²=AD²，△ADF是直角三角形，则（$\frac{5}{2}$+3）²+（t-2）²+（5-$\frac{5}{2}$）²+（-t-2）²，=80，再分别解关于t的方程确定t的值，从而得到F点的坐标．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=2}\\{c=-2}\\{-\frac{b}{2a}=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{6}}\\{b=-\frac{5}{6}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x-2；
（2）作EP∥y轴交AD于P，如图1，
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A（-3，2），C（0，$\frac{1}{2}$）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=2}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以直线AD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{6}{x}^{2}-\frac{5}{6}x-2}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-2}\end{array}\right.$，则D（5，-2），
设E（x，$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x-2）（-3＜x＜5），则P（x，-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$），
∴PE=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x-2）=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{2}$，
∴S_△AED=S_△AEP+S_△DEP
=$\frac{1}{2}$•（5+3）•（-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{2}$）
=-$\frac{2}{3}$（x-1）²+$\frac{32}{3}$，
当x=1时，△ADE的面积最大，最大面积为$\frac{32}{3}$，此时E点坐标为（1，-$\frac{8}{3}$）；
（3）存在．
设F（$\frac{5}{2}$，t），如图2，
∵A（-3，2），D（5，-2），
∴AD²=（5+3）²+（-2-2）²=80，AF²=（$\frac{5}{2}$+3）²+（t-2）²，DF²=（5-$\frac{5}{2}$）²+（-t-2）²，
当AD²+AF²=DF²，△ADF是直角三角形，则80+（$\frac{5}{2}$+3）²+（t-2）²=（5-$\frac{5}{2}$）²+（-t-2）²，解得t=13，此时F点坐标为（$\frac{5}{2}$，13）；
当AD²+DF²=AF²，△ADF是直角三角形，则80+（5-$\frac{5}{2}$）²+（-t-2）²=（$\frac{5}{2}$+3）²+（t-2）²，解得t=-7，此时F点坐标为（$\frac{5}{2}$，-7）；
当DF²+AF²=AD²，△ADF是直角三角形，则（$\frac{5}{2}$+3）²+（t-2）²+（5-$\frac{5}{2}$）²+（-t-2）²，=80，解得t=±$\frac{\sqrt{71}}{2}$，此时F点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{71}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{71}}{2}$），
综上所述，F点的坐标为（$\frac{5}{2}$，13）或（$\frac{5}{2}$，-7）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{71}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{71}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和勾股定理的逆定理；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用两点间的距离公式计算线段的长；注意分类讨论思想的应用．