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5.已知⊙A、⊙B、⊙C的半径都是3,且相互外切.在此三个圆所在的平面上,取与这三个圆上至少一点的距离为2$\sqrt{3}$-3的所有点,试求全部取出的点所构成的区域面积.

分析 由已知条件得到△ABC为正三角形,边长为6,设△ABC的中心为O,解直角三角形得到OA=OB=OC=2$\sqrt{3}$,如图,作O点关于AB,BC,CA的对称点O1,O2,O3,连接AO1,O1B,B2,O2C,CO3,O3A,于是得到所求结论.

解答 解:由题设知,△ABC为正三角形,边长为6,
设△ABC的中心为O,OA=OB=OC=2$\sqrt{3}$,
如图,作O点关于AB,BC,CA的对称点O1,O2,O3,连接AO1,O1B,B2,O2C,CO3,O3A,
故所求区域为O1BO2,O2CO3,O3AO1(半径为2$\sqrt{3}$,圆心角为$\frac{4π}{3}$)
及正六边形AO1BO2CO3去掉三个圆⊙A,⊙B,⊙C(半径为6-2$\sqrt{3}$)
其面积为3×$\frac{2π}{3}$(2$\sqrt{3}$)2+6×$\frac{\sqrt{3}}{4}$(2$\sqrt{3}$)2-3π(6-2$\sqrt{3}$)2
=24π+18$\sqrt{3}$-36π(4-2$\sqrt{3}$)
=18$\sqrt{3}+π$(72$\sqrt{3}$-120).

点评 本题考查了相切两圆的性质,等边三角形的判定和性质,圆心角定义,正确的周长图形是解题的关键.

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15.解方程组$\left\{\begin{array}{l}{17x-2y=8①}\\{13x-4y=-10②}\end{array}\right.$时,消去未知数y最简单的方法是(  )
A.①×4-②×2B.①×2-②
C.由①得y=$\frac{17x-8}{2}$,再代入②D.由②得$\frac{13x+10}{4}$,再代入①

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16.某公司经过市场调研,决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”,要求这两种产品全年共新增产量20件,这20件的总产值p(万元)满足:1100<p<1200,已知有关数据如图所示,设生产甲种产品x件,解答下列问题:
产品每件产品的产值
45万元
75万元
(1)求P与x的函数关系式?
(2)该公司明年应该怎样安排甲、乙两种产品的生产量?
(3)如果甲种产品每件的成本为10万元,乙种产品每件的成本为15万元生产这两种产品的总成本为y万元,请写出y与x的函数关系式,并说明x取何值时能使总成本最低?

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13.如图,大半圆O与小半圆O1相切于点C,大半圆的弦AB与小半圆相切与F,且AB∥CD,AB=4cm,则阴影部分的面积为2πcm2

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20.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点D,过点D作EF∥BC交AB于E,交AC于F,若AB=12,BC=8,AC=10,则△AEF的周长为(  )
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10.如图,某原形状为四边形的原材料ABCD,点E在CD上,AE∥BC,且AE=DE,∠D-∠C=27°,工人师傅将该原材料加工去一角,则被加工掉的∠D的度数为69°.

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17.如图1,已知⊙O的半径为1,∠NAM的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$,AM是⊙O的切线,⊙O从点A开始沿射线AM的方向滚动,其接触点为点A′(即点A′始终是切点).
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(2)①如图1,当⊙O的初始位置时,求圆心O到射线AN的距离;
②如图②,当⊙O的圆心在射线AN上时,AA′=2$\sqrt{2}$;
(3)在⊙O的滚动过程,设点A′与点A之间距离为x,圆心O到射线AN的距离为y,求y与x之间的关系,并探究当x分别在什么范围内时,⊙O与射线AN相交、相切、相离?

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14.计算:(1000)0-2-1=$\frac{1}{2}$.

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15.如图,将?ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连结AE,交BC于点F.
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(2)若∠AFC=2∠D,连结AC,BE,求证:四边形ABEC是矩形.

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