Question

在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为（0，0），A（50，0），B（50，50），C（0，50）．若正方形OABC的内部（边界及顶点除外）一格点（“格点”是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点）满足：S_△POA×S_△PBC=S_△PAB×S_△POC就称P为“好点”，则正方形OABC的内部好点的个数为________个．

Answer 1

97
分析：设点P的坐标为（x，y），把点P的坐标代入好点条件，求出x与y的关系式，然后根据关系式找出在正方形内的点的坐标的个数，就是“好点”的个数．
解答：设P（x，y），其中x，y均为正整数，且0＜x＜50，0＜y＜50．
由S_△POA•S_△PBC=S_△PAB•S_△POC，
得y（50-y）=x（50-x），即x²-y²-50x+50y=0，
即（x-y）（x+y-50）=0．
∴x=y或x+y=50．
当x=y时，解得满足条件的P点坐标有49个；
当x+y-50=0时，解得满足条件的P点坐标由49个；
又∵（25，25）为公共交点．
∴正方形OABC内部“好点”的个数为49+49-1=97（个）．
故答案为：97．
点评：此题主要考查了正方形性质以及“好点”的定义，只要利用三角形的面积，根据“好点”的定义列式进行计算即可判断，难度不大．