Question

3．如图，已知直线y=kx+b（k＞0）交抛物线y=-（x-1）²交于M、P两点，交抛物线对称轴x=1于Q（Q在x轴下方），交x轴于D，点N是点M关于对称轴x=1的对称点，延长NP交对称轴x=1于G，求证：DG=DQ．

Answer 1

分析 分别设P（a，-a²+2a-1），M（b，-b²+2b-1），N（2-b，-b²+2b-1），然后分别求出直线PM、PN的解析式，令x=1分别代入直线PM，PN的解析式中，求出G、Q的坐标，若GA=GQ，则DG=DQ．

解答 解：设P（a，-a²+2a-1），M（b，-b²+2b-1），
∵M与N关于x=1对称，
∴N（2-b，-b²+2b-1），
设直线PN的解析式为：y=k₁x+m，
把P与N的坐标代入上式，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}+2a-1=a{k}_{1}+m}\\{-{b}^{2}+2b-1=（2-b）{k}_{1}+m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-（a-b）}\\{m=2a-ab-1}\end{array}\right.$，
∴直线PN的解析式为：y=-（a-b）x+2a-ab-1，
令x=1代入直线PN的解析式，
∴y=a+b-ab-1，
∴G（1，a+b-ab-1），
∴GA=a+b-ab-1，
设直线PM的解析式为：y=k₂x+n，
把P与M的坐标分别代入上式，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}+2a-1=a{k}_{2}+n}\\{-{b}^{2}+2b-1=b{k}_{2}+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-（a+b-2）}\\{n=ab-1}\end{array}\right.$，
∴直线PM的解析式为：y=-（a+b-2）x+ab-1，
令x=1代入直线PM的解析式，
∴y=-a-b+ab+1，
∴Q（1，-a-b+ab+1），
∴AQ=a+b-ab-1，
∴GA=AQ，
∵GA⊥AD，
∴AD垂直平分GQ，
∴DG=DQ．

点评 本题考查待定系数法求一次函数解析式，涉及用含参数表示坐标，待定系数法，因式分解等知识，题目较综合，运算量也比较大，解题关键是用参数a、b设P、M、N三点的坐标出来．