Question

如图AF是⊙O的直径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，DE⊥OB，垂足为E，求证：
（1）D是AB的中点；
（2）DE是⊙C的切线；
（3）BE•BF=2AD•ED．

Answer 1

证明：（1）连接OD，
∵OA是⊙C的直径，
∴∠ADO=90°，
∵AB是⊙O的弦，OD是弦心距，
∴AD=BD，即D是AB的中心；

（2）连接CD，
∵C、D分别为AO，AB的中点，
∴CD∥OB，
∵DE⊥OB，
∴DE⊥CD，
∴DE为⊙C的切线；

（3）连接BF，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ABF=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
又∵∠BED=90°，
∴△ABF∽△BED，
∴=，
∴BE•BF=AB•ED，
∵AB=2AD，
∴BE•BF=2AD•ED．
分析：（1）连接OD，由OA为直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ADO为直角，由AB为圆O的弦，OD垂直于AB，利用垂径定理得到AD=BD，即可得到D为AB的中点；
（2）连接CD，由D为AB的中点，C为OA的中点，得到CD为三角形AOB的中位线，利用中位线定理得到CD与OB平行，由DE垂直于OB，利用与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到DE与DC垂直，即可得到DE为圆C的切线；
（3）由AF为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ABF为直角，再由OA=OB，利用等比对等角得到一对角相等，再由一对角为直角，得到三角形BDE与三角形ABF相似，由相似得比例，将AB=2AD代入变形即可得证．
点评：此题考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．