Question

12．在半径为$\sqrt{2}$的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中的阴影部分）．
（1）求这个扇形的面积（结果保留π）；
（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值．
（2）本题需要求出最大圆的直径以及圆锥底面圆的直角（圆锥底面圆的周长即弧BC的长）．然后进行比较即可．

解答 解：（1）连接BC，
由∠BAC=90°得BC为⊙O的直径，
∴BC=2$\sqrt{2}$，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：
AB=AC=2，
∴S_扇形ABC=$\frac{90π×4}{360}$=π；

（2）不能，
连接AO并延长交$\widehat{BC}$于点D，交⊙O于点E，则
DE=2$\sqrt{2}$-2，l_BC=$\frac{90π×2}{180}$=π，
设能与扇形围成圆锥体的底面圆的直径为d，
则：dπ=π，
∴d=1．
又∵DE=2$\sqrt{2}$-2＜d=1，即：围成圆锥体的底面圆的直径大于DE，
∴不能围成圆锥体．

点评 本题考查了圆周角定理、扇形的面积计算方法、弧长公式等知识．关键是熟悉圆锥的展开图和底面圆与圆锥的关系．利用所学的勾股定理、弧长公式及扇形面积公式求值．