Question

【题目】如图，已知 A、B是线段MN上的两点，MN4，MA1，MB1．以A为中心顺 时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使MN 两点重合成一点C，构成△ABC，设ABx.（1）则x的取值范围是_________；（2）△ABC的最大面积是_________.

C

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）因为所求AB或x在△ABC中，所以可利用三角形三边之间的关系即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行解答．

（2）在△ABC中，AB的值固定不变，即可视为底边不变，但是因为三角形形状不固定，

高在发生变化，所以造成面积不固定，需分情况进行讨论．具体分①若点D在线段AB上，②若点D在线段MA上两种情况．

(1)∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3x.

∴，

解得1<x<2；

(2)在△ABC中，作CD⊥AB于D，

设CD=h,△ABC的面积为S,则S=xh，

①若点D在线段AB上，

则+=x，

∴(3x)2h2=x22x+1h2，

即x=3x4,

∴x2(1h2)=9x224x+16，

即x2h2=8x2+24x16.

∴S2=x2h2=2x2+6x4=2(x)2+ (≤x<2)，

当x=时(满足≤x <2)S2取最大值,从而S取最大值；

②若点D在线段MA上，

则=x，

同理可，得

S2=x2h2=2x2+6x4

=2(x)2+ (1<x≤)，

易知此时S<，

综合①②得,△ABC的最大面积为.