Question

3．如图，抛物线y=x²+bx+c（c＞0）与y轴交于点C，顶点为A，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于点D，tan∠AOE=$\frac{3}{2}$，直线OA与抛物线的另一个交点为B．当OC=2AD时，c的值是4.5或13.5．

Answer 1

分析 分两种情况：
①当抛物线顶点A在第一象限时，如图1，
先根据tan∠AOE=$\frac{3}{2}$，设出A、B两点的坐标，A（2m，3m），B（2n，3n），因为A、D都在抛物线的对称轴上，所以AD∥y轴，即AD∥OC，根据平行线分线段成比例定理列式得：D是BC的中点，根据C和B的坐标表示出中点D的横坐标为n，则n=2m，所以B（4m，6m），把A、B两点的坐标分别代入y=x²+bx+c（c＞0）中列方程组，同时根据对称轴得：-$\frac{b}{2}$=2m，组成三个方程的方程组，解出即可．
②当抛物线顶点A在第四象限时，如图2，同理可求得c的值为13.5．

解答 解：分两种情况：
①当抛物线顶点A在第一象限时，如图1，
由tan∠AOE=$\frac{3}{2}$，设A（2m，3m），B（2n，3n），
∵AD∥OC，
∴$\frac{AD}{OC}=\frac{BD}{BC}$，
∵OC=2AD，
∴$\frac{AD}{2AD}=\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BC=2BD，
∴D为BC的中点，
∵C（0，c），B（2n，3n），
∴D的横坐标为：$\frac{0+2n}{2}$=n，
由题意可知：A、D都在抛物线的对称轴上，
∴n=2m，
∴B（4m，6m），
则$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}+2bm+c=3m}\\{16{m}^{2}+4bm+c=6m}\\{-\frac{b}{2}=2m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{b=0}\\{m=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c=\frac{9}{2}}\\{b=-3}\\{m=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∵c＞0，
∴c=4.5，
②当抛物线顶点A在第四象限时，如图2，
设A（2m，-3m），B（2n，-3n），
∵AD∥OC，
∴$\frac{AD}{OC}=\frac{BD}{BC}$，
∵OC=2AD，
∴$\frac{AD}{2AD}=\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BC=2BD，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{2}{3}$，
过C作CG⊥DE于G，过B作BH⊥CG于H，
设D（x，y），则x=-$\frac{b}{2}$=2m，
∵BH∥DG，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{CH}{CG}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{2}{3}=\frac{2n}{x}$，
∴x=3n，
∴3n=2m，
∴n=$\frac{2}{3}$m，
∴B（$\frac{4}{3}m$，-2m），
则$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}+2mb+c=-3m}\\{\frac{16}{9}{m}^{2}+\frac{4}{3}mb+c=-2m}\\{-\frac{b}{2}=2m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{9}{4}}\\{b=-9}\\{c=13.5}\end{array}\right.$，
综上所述，c的值是4.5或13.5，
故答案为：4.5或13.5．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理，三角函数及二次函数的性质，三角函数不仅应用它列比例式，求线段的长，还可以利用三角函数值设点的坐标；本题还利用了待定系数法，列方程组，求二次函数的解析式．