Question

（2004•泰州）如图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连接CE并延长交AD的延长线于点F，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）求证：AC²=CM•CF；
（3）若CM=，MF=，求BD；
（4）若过点D作DG∥BE交EF于点G，过G作GH∥DE交DF于点H，则易知△DGH是等边三角形．设等边△ABC、△BDE、△DGH的面积分别为S₁、S₂、S₃，试探究S₁、S₂、S₃之间的等量关系，请直接写出其结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OB，证明∠OBE=90°即可；
（2）欲证AC²=CM•CF，即证AC：CF=CM：AC，连接AM，通过证明△ACM∽△FCA可以得出；
（3）由（2）的结论先求出AC的长，再根据割线定理得出FB•FA=FM•FC，求出FB，再由EB∥AC得出BE：AC=FB：FA，求出BE，得出BD的长；
（4）探究S₁、S₂、S₃之间的等量关系，可以先证明△DGH∽△BDE∽△ABC，得出DH：DB=DB：AB，根据面积比是相似比的平方得出S₂²=S₁•S₃或．
解答：（1）证明：连接OB
∵△ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC=AC，∠CAB=∠ABC=∠EBD=60°
∴∠OBC=30°（1分）
∵∠CBE=180°-60°-60°=60°
∴∠OBE=30°+60°=90°即OB⊥BE（2分）
∴BE是⊙O的切线；（3分）

（2）证明：连接AM，则∠AMC=∠ABC=∠CAF=60°（4分）
∵∠ACM=∠FCA
∴△ACM∽△FCA（5分）
∴
∴AC²=CM•CF；（6分）

（3）解：∵AC²=CM•CF
∴AC=2（7分）
设FB=x
∵FB•FA=FM•FC
∴
∴x=4，x=-6（舍去）
∴FB=4（8分）
∵EB∥AC
∴
∴（9分）
∴BE=
∴BD=；（10分）

（4）解：S₂²=S₁•S₃或（12分）．
点评：考查了切线的判定及有关性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．