Question

17．如图，已知一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+3的图象与x轴和y轴分别相交于A，B两点，点C在AB上，以1个单位/s的速度从点B向A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向O运动，运动时间用t（s）表示．
（1）求AB的长；
（2）当t为何值时，△ACD和△AOB相似，并直接写出D点的坐标．

Answer 1

分析 （1）在一次函数解析式中分别令y=0和x=0，则可求得A、B两点的坐标，利用勾股定理可求得AB的长；
（2）用t可分别表示出AC和AD，根据相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值，则可求得D点坐标．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{3}{4}$x+3中，令y=0可得-$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=4，令x=0可得y=3，
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5；
（2）由题意可知BC=AD=t，则AC=AB-BC=5-t，
∵△ACD和△AOB相似，
∴有CD⊥OA和CD⊥AB两种情况，
①当CD⊥OA时，则有$\frac{AD}{OA}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{t}{4}$=$\frac{5-t}{5}$，解得t=$\frac{20}{9}$，
∴OD=OA-AD=4-$\frac{20}{9}$=$\frac{16}{9}$，
∴D（$\frac{16}{9}$，0）；
②当CD⊥AB时，则有$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{OA}$，即$\frac{t}{5}$=$\frac{5-t}{4}$，解得t=$\frac{25}{9}$，
∴OD=OA-AD=4-$\frac{25}{9}$=$\frac{11}{9}$，
∴D（$\frac{11}{9}$，0）；
综上可知当t的值为$\frac{20}{9}$或$\frac{25}{9}$，此时D点坐标为（$\frac{16}{9}$，0）或（$\frac{11}{9}$，0）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、勾股定理、相似三角形的性质、方程思想和分类讨论思想等知识．在（1）中利用一次函数解析式求得OA、OB的长是解题的关键，在（2）中用t表示出AD和AC的长，利用相似三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键．本题考查知识点相对不多，综合性较强，难度不大．