【题目】在△ABC中,D是CB延长线上一点,∠BAD=∠BAC.
(1)如图,求证:;
(2)如图,在AD上有一点E,∠EBA=∠ACB=120°.若AC=2BC=2,求DE的长;
(3)如图,若AB=AC=2BC=4,BE⊥AB交AD于点E,直接写出△BDE的面积.
【答案】(1)见解析;(2)DE=;(3)
【解析】
(1)如图1中,作BE⊥AD于E,BF⊥AC于F.利用面积法证明即可.
(2)如图2中,作AH⊥DC交DC的延长线于H.解直角三角形求出AB,再利用相似三角形的性质解决问题即可.
(3)如图3中,作AH⊥BC于H,BM⊥AC于M,EF⊥BD于F.利用面积法求出BM,再利用相似三角形的性质求出BE,BF,EF,DF即可解决问题.
(1)证明:如图1中,作BE⊥AD于E,BF⊥AC于F.
∵∠BAD=∠BAC,BE⊥AD,BF⊥AC,
∴BE=BF,
∴,
∴.
(2)解:如图2中,作AH⊥DC交DC的延长线于H.
在Rt△ACH中,∵∠AHC=90°,AC=2,∠ACH=60°,
∴CH=1,AH=,
在Rt△ABH中,AB=,
∵∠EAB=∠BAC,∠ABE=∠ACB,
∴△EAB∽△BAC,
∴,
∴,
∴AE=,EB=,
∵∠ABD=∠DBE+∠ABE=∠ACB+∠BAC,∠ABE=∠ACB,
∴∠DBE=∠BAC,
∵∠BAC=∠BAD,
∴∠DBE=∠BAD,
∵∠D=∠D,
∴△DEB∽△DBA,
∴,
∴,
∴DE=.
(3)解:如图3中,作AH⊥BC于H,BM⊥AC于M,EF⊥BD于F.
∵AB=AC=4,AH⊥BC,
∴BH=CH=1,
∴AH=,
∵BCAH=ACBM,
∴BM=,AM=,
∵∠BAE=∠BAM,∠ABE=∠AMB=90°,
∴△ABE∽△AMB,
∴,
∴BE=,
由△EFB∽△BHA,
∴,
∴,
EF=,BF=,
∵EF∥AH,
∴,
∴,
∴DF=,
∴S△BDE=BDEF=×()×=.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,EF经过对角线BD的中点O,分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△BOF≌△DOE;
(2)当EF⊥BD时,求AE的长.
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【题目】对给定的一张矩形纸片进行如下操作:先沿折叠,使点落在边上(如图①),再沿折叠,这时发现点恰好与点重合(如图②)
(1)根据以上操作和发现,则____;
(2)将该矩形纸片展开,如图③,折叠该矩形纸片,使点与点重合,折痕与相交于点,再将该矩形纸片展开.
求证:;
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,OA⊥OB,AB⊥x轴于点C,点A(,1)在反比例函数的图象上.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)在x轴的负半轴上存在一点P,使得S△AOP=S△AOB,求点P的坐标;
(3)若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE.直接写出点E的坐标,并判断点E是否在该反比例函数的图象上,说明理由.
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【题目】抛物线y=a(x+1)(x﹣3)与x轴交于A、B两点,抛物线与x轴围成的封闭区域(不包含边界),仅有4个整数点时(整数点就是横纵坐标均为整数的点),则a的取值范围_____.
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【题目】国家为了实现2020年全面脱贫目标,实施“精准扶贫”战略,采取异地搬迁,产业扶持等措施.使贫困户的生活条件得到改善,生活质量明显提高.某旗县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况,进行随机抽样调查,分为四个类别:A.非常满意;B.满意;C.基本满意;D.不满意.依据调查数据绘制成图1和图2的统计图(不完整).
根据以上信息,解答下列问题:
(1)将图1补充完整;
(2)通过分析,贫困户对扶贫工作的满意度(A、B、C类视为满意)是 ;
(3)市扶贫办从该旗县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中,随机抽取两户进行满意度回访,求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率.
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【题目】若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数,则把点M叫做“整点”.例如:P(1,0)、Q(2,﹣2)都是“整点”.抛物线y=mx2﹣4mx+4m﹣2(m>0)与x轴交于点A、B两点,若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,则m的取值范围是( )
A. ≤m<1B. <m≤1C. 1<m≤2D. 1<m<2
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【题目】根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图.
根据图所提供的信息,若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛,应推荐( )
A. 李飞或刘亮 B. 李飞 C. 刘亮 D. 无法确定
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