Question

9、如图所示，矩形ABCD，过重心O任意作一直线分别交边于E、F，证明直线EF把矩形分成面积相等的两部分．直线EF把矩形的周长也分成相等的两部分吗？为什么？

Answer 1

分析：利用四边形ABCD为矩形的性质证△AOE≌△COF．进而得到AE=CF，那么DE=BF．就可得到矩形的周长也分成相等的两部分．

解答：证明：∵过重心O任意作一直线分别交边于E、F，
∴AC、BC交于O则O为矩形对称中心．
∴四边形ABFE与四边形EFCD关于点O对称，
∴作直线EF使其经过点O，直线EF即把矩形分成面积相等的两部分．

证明：∵四边形ABCD是矩形，O为重心．
∴AO=CO=BO=DO，∠AOE=∠COF，∠DAO=∠ACB=∠DBC．
∴△AOE≌△COF（AAS）．
∴AE=CF．
∴DE=BF．
∴AE+AB+BF=CF+CD+DE．
∴直线EF把矩形的周长也分成相等的两部分．

点评：解答此题要熟悉矩形的性质以及重心的知识，结合全等三角形的判定定理解答．