Question

如图，已知抛物线的方程为（m＞0），与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（2，2），求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标．

Answer 1

解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：
2=-（2+2）（2-m），
解得m=4．

（2）令y=0，即-（x+2）（x-4）=0，解得x₁=-2，x₂=4，
∴B（-2，0），C（4，0）．
则BC=6．
令x=0，得y=2，
∴E（0，2），则OE=2．
∴S_△BCE=BC•OE=6．

（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，
又∵点B、C关于x=1对称．
如图，连接EC，交x=1于H点，此时BH+CH最小（最小值为线段CE的长度）．
设直线EC：y=kx+b（k≠0），将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=-x+2，
当x=1时，y=，
∴H（1，）．
分析：（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值；
（2）求出B、C、E点的坐标，进而求得△BCE的面积；
（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点，如答图所示．
点评：本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数、二次函数解析式以及轴对称-最小路径问题等重要知识点，难度较大．注意，在设一次函数解析式y=kx+b时，一定要说明k≠0．