Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC=∠BDE．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）连接OC交BE于点F，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题（1）连接OE，证得OE⊥AC即可确定AC是切线；
（2）根据OE∥BC，分别得到△AOE∽△ACB和△OEF∽△CBF，利用相似三角形对应边的比相等找到中间比即可求解．

试题解析：解：（1）连接OE．

∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB．

∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BEC=90°．

∵BD为⊙O的直径，∴∠BED=90°，∴∠DBE+∠BDE=90°，∴∠CBE=∠DBE，∴∠CBE=∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠ACB=90°，即OE⊥AC，∴AC为⊙O的切线．

（2）∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴OE：BC=AE：AC．

∵CE：AE=2：3，∴AE：AC=3：5，∴OE：BC=3：5．

∵OE∥BC，∴△OEF∽△CBF，∴．