Question

甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为45m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=

12

13

，cosC=

3

5

．
（1）求索道AB的长；
（2）若乙游客在C处等了甲游客3分钟，求乙步行的速度．

Answer 1

考点：解直角三角形的应用

专题：

分析：（1）利用同角三角函数的关系，可求得sinA与sinC，从而得到sinB．再在△ABC中利用正弦定理加以计算，即可得到索道AB的长；
（2）先由正弦定理得

BC

sinA

=

AC

sinB

，求得BC=500m，再分别求出甲共用时间与乙索道所用时间，设乙的步行速度为 vm/min，依题意，解方程28-（2+1+8+

500

v

）=3即可．

解答：解：（1）∵cosA=

12

13

，cosC=

3

5

，
∴sinA=

1-cos2A

=

5

13

，sinC=

1-cos2C

=

4

5

，
∴sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

63

65

，
∵

AB

sinC

=

AC

sinB

，
∴AB=

AC

sinB

•sinC=

1260

63 65

×

4

5

=1040m，
答：索道AB的长为1040米；

（2）∵

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∴BC=

AC

sinB

•sinA=

1260

63 65

×

5

13

=500m．
甲共用时间：

1260

45

=28，
乙索道所用时间：

1040

130

=8，
设乙的步行速度为 vm/min，由题意得
28-（2+1+8+

500

v

）=3，
整理得

500

v

=14，
解得v=

250

7

．
答：乙步行的速度为

250

7

m/min．

点评：本题给出实际应用问题，求索道的长并研究甲乙二人到达时间的问题．着重考查了同角三角函数的基本关系、正余弦定理解三角形和解三角形的实际应用等知识，属于中档题．