Question

如图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．

⑴求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；

⑵求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比(直接出答案)；

⑶根据前面探索和图3，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，(n为大于2的偶数)？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

        图1                        图2                           图3

Answer 1

（1）方法一：

   连结OA，OB，过点O作OMAB，垂足为M

   点O是正方形ABCD外接圆圆心，

OA=OB，正方形ABCD，OM=AB，

，

又

≌

重叠部分面积=

重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：3

方法二：

过正方形ABCD的外接圆圆心O分别作OMAB、ONBC，垂足分别为M、N

正方形ABCD，OM=ON=AB

≌

重叠部分面积

重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：3

（2）1：2

（3）两个相同的正n（n为大于2的偶数）边形，其中一个正n边形的顶点的另一个正n边形的外接圆圆心O处，求两个正n边形重叠部分面积与阴影部分面积之比。答案为（n-2）:(n+2)