Question

如图，已知直线y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上可以移动的点，且点P在点A的左侧，PM⊥x轴，交直线y=-x+6于点M，有一个动圆O′，它与x轴、直线PM和直线y=-x+6都相切，且在x轴的上方．当⊙O'与y轴也相切时，点P的坐标是

 

．

Answer 1

分析：此题应分为三种情况：
①当⊙O′在y轴的右侧时，MP在圆的左侧，此时点P和点O重合，坐标是（0，0）；
②当⊙O′在y轴的右侧时，MP在圆的右侧，此时可以求得圆的半径是

6+6-6 2

2

=6-3

2

，则点P的坐标是（12-6

2

，0）；
③当圆在y轴左侧时，设圆的半径是x，则根据等腰直角三角形的性质和切线长定理得：
12+6

2

=

2

（6+2x），x=3

2

，则P点的坐标是（-6

2

，0）．

解答：解：①如图，当⊙O′在y轴的右侧时，MP在圆的左侧，
此时点P和点O重合，坐标是（0，0）；
②当⊙O′在y轴的右侧时，MP在圆的右侧，
∵直线y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（6，0），B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△AOB是等腰直角三角形，连接OC，OD，
则四边形O'COD是正方形，
∴圆的半径是

6+6-6 2

2

=6-3

2

，
则点P的坐标是（12-6

2

，0）；
③当圆在y轴左侧时，
设圆的半径是x，如图，则AP=PM=6+2x，连接O'E，O'F，
则四边形O'EPF是正方形，
∴ME=MS=6+x，BH=BS=6-x
则根据切线长定理得AM=MS+AS=MS+AF=12+6

2

，
∴12+6

2

=

2

（6+2x），
∴x=3

2

，
则P点的坐标是（-6

2

，0）．
故填空答案：（0，0），（-6

2

，0），（12-6

2

，0）．

点评：此题注意考虑三种情况，计算的时候，综合运用切线长定理、等腰直角三角形的性质以及直线与坐标轴的交点的求法．