【题目】如图,在正方形中,对角线
相交于点
,以
为边向外作等边
,连接
交
于
若点
为
的延长线上一点,连接
,连接
且
平分
,下列选项正确的有( )
①;②
;③
;④
A.个B.
个C.
个D.
个
【答案】C
【解析】
①连结OE,根据正方形性质和等边三角形性质可证:OE垂直平分AD,进而可证:△CDF∽△EOF,由相似三角形性质即可求得DF;
②由,又由两条平行之间的距离处处相等得
,即可得
,利用三角形面积公式计算即可得出结果;
③过点F作PQ⊥CD分别交CD、AB于点P、Q,在MA上截取MT=MC,连接FT、CT,求得相关的线段长,可证:△MCF≌△MTF(SAS),Rt△CFP≌Rt△FTQ(HL),求出BT的长,利用特殊角的三角函数值和等边三角形的判定与性质即可求得;
④根据解直角三角形和线段的加减运算分别求出的长,整理即可得出这三条线段之间的数量关系,即可做出判断.
解:如图1,连结OE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD=AB=BC,∠ADC=∠DAB=90°,OD=OB,OC=OA,BD=AC,
∴OD=OB=OC=OA,
∵△ADE是等边三角形,,
∴,∠ADE=60°,
∴,
∴,
则,
∵AE=DE,OD=OA,
∴OE垂直平分AD,即OE⊥AD,DH=AH,
∴,
,
∴,
∵∠ADC=∠DHE=90°,
∴CD∥OE,
∴△CDF∽△EOF,
∴,则
,即
,
∵,则
,
∴,解得:
,故①正确;
∵,
又∵CD∥OE,
∴,
∴
,
故②正确;
如图2,过点F作PQ⊥CD分别交CD、AB于点P、Q,在MA上截取MT=MC,连接FT、CT,则为等腰三角形,
在中,
,
∴为等腰直角三角形,
,
由得:
,则
为等腰直角三角形,
∵,
∴,
,
则,
∴,则
,
,
∵FM平分∠AMC,
∴∠CMF=∠AMF,
在△MCF和△MTF中,
,
∴△MCF≌△MTF(SAS),
∴CF=FT,
在Rt△CFP和Rt△FTQ中,
∴Rt△CFP≌Rt△FTQ(HL),
∴,
∴,则
,
∴,
在中,
,
∴,则
为等边三角形,
∴,故③正确;
∵,
∴,则
,
∴,
,
在中,
,
∴,
∵
∴,故④错误;
∴正确的选项有3个,
故选:C.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】国家计划2035年前实施新能源汽车,某公司为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,决定对近期研发出的一种新型能源产品进行降价促销.根据市场调查:这种新型能源产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元,每天可多售出5个.已知每个新型能源产品的成本为100元.
问:(1)设该产品的销售单价为元,每天的利润为
元.则
_________(用含
的代数式表示)
(2)这种新型能源产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某公司开发处一款新的节能产品,该产品的成本价为6元/件,该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售,售价为10元/件,工作人员对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘制成图象,图中的折线ABC表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系.
(1)求y与x之间的函数表达式,并写出x的取值范围;
(2)若该节能产品的日销售利润为W(元),求W与x之间的函数表达式,并求出日销售利润不超过1040元的天数共有多少天?
(3)若5≤x≤17,直接写出第几天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少元?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】综合与实践:
动手操作:如图1,四边形是一张矩形纸片,
,点
分别在
边上,且
,连接
,将
分别沿
折叠,点
分别落在点
处.
探究展示:(1)“刻苦小组”发现:,且
,并展示了如下的证明过程.
证明:在矩形中,
,
,
又∵,
∴,
∴,
,
∵,
∴(依据1)
∴,
∴(依据2)
反思交流:①上述证明过程中的“依据1”与“依据2”分别指什么?
②“勤奋小组”认为:还可以通过证明四边形是平行四边形获证,请你根据“勤奋小组”的证明思路写出证明过程.
猜想证明:(2)如图2,折叠过程中,当点在直线
的同侧时,延长
交
于点
,延长
交
于点
中,则四边形
是什么特殊四边形?请说明理由.
联想拓广:(3)如图3,连接,
①当时,
的长为_____________________;
②的长有最小值吗?若有,请你直接写出
的最小值;若没有,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知A(3,m),B(﹣2,﹣3)是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点.
(1)求直线AB和反比例函数的解析式;
(2)观察图象,直接写出当x满足什么范围时,直线AB在双曲线的下方;
(3)反比例函数的图象上是否存在点C,使得△OBC的面积等于△OAB的面积?如果不存在,说明理由;如果存在,求出满足条件的所有点C的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】深圳某百果园店售卖赣南脐橙,已知每千克脐橙的成本价为元,在销售脐橙的这
天时间内,销售单价
(元/千克)与时间第
(天)之间的函数关系式为
(
,且
为整数),日销售量
(千克)与时间第
(天)之间的函数关系式为
(
,且
为整数)
(1)请你直接写出日销售利润(元)与时间第
(天)之间的函数关系式;
(2)该店有多少天日销售利润不低于元?
(3)在实际销售中,该店决定每销售千克脐橙,就捐赠
元给希望工程,在这
天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间
的增大而增大,求
的取值范围.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,四边形内接于⊙
,
是⊙
的直径,过点
的切线与
的延长线相交于点
.且
,连接
.
(1)求证:;
(2)过点作
,垂足为
,当
时,求⊙
的半径;
(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是的中点,点D在OB上,点E在OB的延长线上,当正方形CDEF的边长为2
时,阴影部分的面积为________
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