Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．
（1）求证：DA⊥AE；
（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的性质，及∠BAC+∠BAF=180°可求出∠DAE=90°，即DA⊥AE；
（2）要证AB=DE，需证四边形AEBD是矩形，由AB=AC，AD为∠BAC的角平分线，可知AD⊥BC，又因为DA⊥AE，BE⊥AE故，
所以∠AEB=90°，∠DAE=90°即证四边形AEBD是矩形．

解答：（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=

1

2

∠BAC，
又∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=

1

2

∠BAF，
∵∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠BAD+∠BAE=

1

2

（∠BAC+∠BAF）=

1

2

×180°=90°，
即∠DAE=90°，
故DA⊥AE．

（2）解：AB=DE．理由是：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，故∠ADB=90°
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=90°，∠DAE=90°，
故四边形AEBD是矩形．
∴AB=DE．

点评：本题考查的是角平分线，等腰三角形的性质及矩形的判定定理．有一定的综合性．