【题目】如图1,点E为正方形ABCD的边AB上一点,EF⊥EC,且EF=EC,连接AF.
(1)求∠EAF的度数;
(2)如图2,连接FC交BD于M,交AD于N.求证:BD=AF+2DM.
【答案】(1)∠EAF=135°.(2)详见解析.
【解析】
(1)过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M,只要证明△EBC≌△FME(AAS)即可解决问题;
(2)过点F作FG∥AB交BD于点G.首先证明四边形ABGF为平行四边形,再证明△FGM≌△DMC(AAS)即可解决问题;
(1)解:过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠M=∠CEF=90°,
∴∠MEF+∠CEB=90°,∠CEB+∠BCE=90°,
∴∠MEF=∠ECB,
∵EC=EF,
∴△EBC≌△FME(AAS)
∴FM=BE
∴EM=BC
∵BC=AB,
∴EM=AB,
∴EM﹣AE=AB﹣AE
∴AM=BE,
∴FM=AM,
∵FM⊥AB,
∴∠MAF=45°,
∴∠EAF=135°.
(2)证明:过点F作FG∥AB交BD于点G.
由(1)可知∠EAF=135°,
∵∠ABD=45°
∴∠EAF+∠ABD=180°,
∴AF∥BG,
∵FG∥AB,
∴四边形ABGF为平行四边形,
AF=BG,FG=AB,
∵AB=CD,
∴FG=CD,
∵AB∥CD,
∴FG∥CD,
∴∠FGM=∠CDM,
∵∠FMG=∠CMD
∴△FGM≌△CDM(AAS),
∴GM=DM,
∴DG=2DM,
∴BD=BG+DG=AF+2DM.
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【题目】如图:在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF,
(1)证明:CF=EB.
(2)证明:AB=AF+2EB.
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【题目】已知平面直角坐标系内的点A(m﹣3,2m﹣2)在第二象限,且m为整数,B(3,1).
(1)求点A的坐标;
(2)点P是x轴上一动点,当PA+PB最小时,求:①点P的坐标;②PA+PB的最小值.
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【题目】如图(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm,点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,他们的运动时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由
(2)判断此时线段PC和线段PQ的关系,并说明理由。
(3)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变,设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由。
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【题目】在四边形ABCD中,点E为AB边上的一点,点F为对角线BD上的一点,且EF⊥AB.
(1)若四边形ABCD为正方形.
①如图1,请直接写出AE与DF的数量关系 ;
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置,连接AE,DF,猜想AE与DF的数量关系并说明理由.
(2)若四边形ABCD为矩形,BC=mAB,其他条件都不变.
①如图3,猜想AE与DF的数量关系并说明理由;
②将△EBF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E′BF′,连接AE′,DF′,请在图4中画出草图,并直接写出AE′和DF′的数量关系.
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【题目】新华中学暑假要进行全面维修,有甲、乙两个工程队共同完成,甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成所需天数的,若由甲队先做10天,剩下的工程再由甲、乙两队合作,再做30天可以完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少秀?
(2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元,乙队每天的施工费用为0.56万元,若由甲、乙两队合作,则工程预算的施工费用50万元是否够用?若不够用,需追加多少万元?
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【题目】阅读与思考:整式乘法与因式分解是方向相反的变形,由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq得,x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q);利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式,例如:将式子x2﹣x﹣6分解因式.这个式子的常数项﹣6=2×(﹣3),一次项系数﹣1=2+(﹣3),这个过程可用十字相乘的形式形象地表示:先分解常数项,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.如图所示.这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”,请同学们认真观察,分析理解后,解答下列问题.
(1)分解因式:x2+7x﹣18.
(2)填空:若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积,则整数p的所有可能值是 .
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【题目】如图,圆柱形玻璃容器高19cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1.5cm的点A处有一只蜘蛛,在蜘蛛正对面的圆柱形容器的外侧,距上底1.5cm处的点B处有一只苍蝇,蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥,请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短距离.
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