Question

9．如图，直线y=-x-2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=a（x-h）²的顶点为A，且经过点B．
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）若点C（m，-$\frac{9}{2}$）在该抛物线上，求m的值；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使PO+PB的值最小，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用x轴上的点y坐标为0，y轴上的点x坐标为0代入直线的表达式求出A、B点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式；
（2）把x=m时，y=-$\frac{9}{2}$代入抛物线的表达式求出m；
（3）点B关于对称轴x=-2的对称点B′，连接OB′，OB′与对称轴的交点即为点P，利用直线OB′与对称轴的交点的求法即可得到点P的坐标．

解答 解：（1）由直线y=-x-2，
令x=0，则y=-2，
∴点B坐标为（0，-2），
令y=0，则x=-2，
∴点A坐标为（-2，0），
设抛物线解析式为y=a（x-h）²+k，
∵抛物线顶点为A，且经过点B，
∴y=a（x+2）²，
∴-2=4a，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+2）²，
即y=-$\frac{1}{2}$x²-2x-2；

（2）∵点C（m，-$\frac{9}{2}$）在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-2x-2上，
∴-$\frac{1}{2}$m²-2m-2=-$\frac{9}{2}$，
∴m²+4m-5=0，
解得m₁=1，m₂=-5；

（3）点B关于对称轴x=-2的对称点B′，连接OB′，OB′与对称轴的交点即为点P，
∵点B坐标为（0，-2），对称轴是x=-2，
∴B′（-4，-2），
则直线OB′的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x，
联立方程组，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
故P（-2，-1）．

点评 本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质和二次函数的知识求解．