Question

如图，弦AB交圆O的直径CD于点H，且AH=BH，作△AHD关于直线AD的轴对称△AED，延长AE交CD的延长线于点P．
（1）试说明：AE为圆O的切线；
（2）已知PA=2，PD=1，求圆O的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OA，根据垂径定理求出AB⊥CD，求出AE⊥DE，∠ADE=∠ADH，求出∠OAD=∠ADE，推出OA∥DE，求出OA⊥AP，根据切线的判定推出即可；
（2）设⊙O的半径为x，在Rt△AOP中，由勾股定理得出关于x的方程，求出方程的解即可．
解答：（1）证明：连接OA，
∵CD是直径，AH=BH，
∴AB⊥CD，
由△AED与△AHD关于直线AD成轴对称可知∠AED=∠AHD=90°，∠ADO=∠ADE，
又∵OA=OD（圆的半径），
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角），
∴∠OAD=∠ADE（等量代换），
∴OA∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠OAP=90°，
又∵点A在圆上，
∴AE为⊙O的切线．

（2）解：设⊙O的半径为x，在Rt△AOP中，
OA²+AP²=OP²，
x²+2²=（x+1）²，
解得：x=1.5．
即⊙O的半径为1.5．
点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，旋转的性质，平行线的性质和判定，切线的判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，题目比较典型，是一道综合性比较强的题目．