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    1．如图1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD-DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
    （1）如图2，当点N落在BD上时，求t的值；
    （2）当正方形PQMN的边经过点O时（包括正方形PQMN的顶点），求此时t的值；
    （3）当点P在边AD上运动时，求S与t之间的函数关系式；
    （4）写出在点P运动过程中，直线DN恰好平分△BCD面积时t的所有可能值．

    分析 （1）可证△DPN∽△DQB，从而有 $\frac{DP}{DQ}$=$\frac{PN}{QB}$，即可求出t的值．
    （2）只需考虑两个临界位置（①MN经过点O，②点P与点O重合）下t的值，即可解决问题．
    （3）根据正方形PQMN与△ABD重叠部分图形形状不同分成二类，如图4、图5，然后运用三角形相似、锐角三角函数等知识就可求出S与t之间的函数关系式．
    （4）由于点P在折线AD-DO运动，可分点P在AD上，点P在DO上两种情况进行讨论，然后运用三角形相似等知识就可求出直线DN平分△BCD面积时t的值．

    解答 解：（1）当点N落在BD上时，如图1．
    ∵四边形PQMN是正方形，
    ∴PN∥QM，PN=PQ=t．
    ∴△DPN∽△DQB．
    ∴$\frac{DP}{DQ}$=$\frac{PN}{QB}$，
    ∵PN=PQ=PA=t，DP=6-t，QB=AB=8，
    ∴$\frac{6-t}{6}$=$\frac{t}{8}$，
    ∴t=$\frac{24}{7}$．
    ∴当t=$\frac{24}{7}$s时，点N落在BD上．

    （2）①如图2，
    则有QM=QP=t，MB=8-t．
    ∵四边形PQMN是正方形，
    ∴MN∥DQ．
    ∵点O是DB的中点，
    ∴QM=BM．
    ∴t=8-t．
    ∴t=4．
    ②如图3，
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴∠A=90°．
    ∵AB=8，AD=6，
    ∴DB=10．
    ∵点O是DB的中点，
    ∴DO=5，
    ∴1×t=AD+DO=6+5．
    ∴t=11．
    ∴当t=4s或11s时，正方形PQMN的边经过点O．

    （3）①当0＜t≤$\frac{24}{7}$时，如图4．
    S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2．
    ②当 $\frac{24}{7}$＜t≤6时，如图5，
    ∵tan∠ADB=$\frac{PG}{DP}$=$\frac{AB}{AD}$，
    ∴$\frac{PG}{6-t}$=$\frac{8}{6}$．
    ∴PG=8-$\frac{4}{3}$t．
    ∴GN=PN-PG=t-（8-$\frac{4}{3}$t）=$\frac{7}{3}$t-8．
    ∵tan∠NFG=tan∠ADB=$\frac{4}{3}$，
    ∴$\frac{GN}{NF}$=$\frac{4}{3}$．
    ∴NF=$\frac{3}{4}$GN=$\frac{3}{4}$（ $\frac{7}{3}t$-8）=$\frac{7}{4}$t-6．
    ∴S=S正方形PQMN-S△GNF
    =t2-$\frac{1}{2}$×（ $\frac{7}{3}$t-8）×（ $\frac{7}{4}$t-6
    =-$\frac{25}{24}$t2+14t-24．
    综上所述：当0＜t≤$\frac{24}{7}$时，S=t2．
    当 $\frac{24}{7}$＜t≤6时，S=--$\frac{25}{24}$t2+14t-24．

    （4）设直线DN与BC交于点E，
    ∵直线DN平分△BCD面积，
    ∴BE=CE=3．
    ①点P在AD上，过点E作EH∥PN交AD于点H，如图7，
    则有△DPN∽△DHE．
    ∴$\frac{DP}{DH}$=$\frac{PN}{EH}$．
    ∵PN=PA=t，DP=6-t，DH=CE=3，EH=AB=8，
    ∴$\frac{6-t}{3}$=$\frac{t}{8}$，
    解得；t=$\frac{48}{11}$．

    ②点P在DO上，连接OE，如图8，
    则有OE=4，OE∥DC∥AB∥PN．
    ∴△DPN∽△DOE．
    ∴$\frac{DP}{DO}$=$\frac{PN}{OE}$，
    ∵DP=t-6，DO=5，OE=4，
    ∴PN=$\frac{4}{5}$（t-6）．
    ∵PQ=$\frac{3}{5}$（16-t），PN=PQ，
    ∴$\frac{4}{5}$（t-6）=$\frac{3}{5}$（16-t）．
    解得：t=$\frac{72}{7}$．
    综上所述：当直线DN平分△BCD面积时，t的值为 $\frac{48}{11}$s或 $\frac{72}{7}$s．

    点评 本题考查了矩形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，考查了用割补法求五边形的面积，考查了用临界值法求t的取值范围，考查了分类讨论的数学思想，综合性较强，有一定的难度．

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