Question

如图，抛物线y=ax²-4ax+b交x轴于A（1，0）、B两点，交y轴于C（0，3）；
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使∠PCB+∠ACB=45°？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将直线AC沿x轴的正方向平移，平移后的直线交y轴于点M，交抛物线于点N，问是否存在M、N使四边形ACMN为等腰梯形？若存在，求出M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=ax²-4ax+b交x轴于A（1，0），交y轴于C（0，3），直接求出即可；
（2）利用三角形对应角之间的关系得出；
（3）根据等腰梯形的性质得出∠CME=∠ANF，进而求出CM的长，以及M，N点的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²-4ax+b交x轴于A（1，0）、B两点，交y轴于C（0，3）；
∴将A（1，0），C（0，3），代入解析式即可求出：
0=a-4a+b，b=3，
∴a=1，
y=x²-4x+3；

（2）解法一：利用余弦定理（超纲，可以尝试解答．）
设P（m，n），
∵B点坐标为：（3，0），C点坐标为：（0，3），
∴CO=BO=3，
∴∠OCB=45°，
∵要使∠PCB+∠ACB=45°，
∴∠OCA=∠PCB，
∴cos∠OCA=cos∠PCB，
∵OA=1，OC=3，
∴cos∠OCA=

3 10

10

，
∴PC=

m2+(n-3)2

，PB=

(m-3)2+n2

，
BC=3

2

，
cos∠PCB=

BC2+PC2-BP2

2PC•BC

=

3 10

10

，
解得m=

7

2

或m=2，即n=

5

4

或n=-1，
P1(

7

2

，

5

4

)、P₂（2，-1）；

解法二：利用三角形相似
∵B点坐标为：（3，0），C点坐标为：（0，3），
∴CO=BO=3，
∴∠OCB=45°，
∵要使∠PCB+∠ACB=45°，
∴∠OCA=∠PCB，
P点有两种情况，一种是在于BC的上方的抛物线上，另一种是在BC下方的抛物线上．
①设CP交x轴于点D，当点D在BC上方时，在OC上取点E，使OE=OA=1，
∵△OEA为等腰直角三角形，
∴∠OEA=45°，
∴∠CEA=135°，
∵∠CBA=45°，
∴∠CBD=∠CEA=135°，
∵∠ECA=∠BCD，
∴△ECA∽△BCD，
∴

EC

EA

=

BC

BD

，
∴

3-1

2

=

3 2

BD

，
∴BD=3，
∴点D为（6，0），
∴过C，D所在直线的解析式为：y=-

1

2

x+3，
∵直线与抛物线交于P点，设为P（m，n）
∴

n=m2-4m+3 n=- 1 2 m+3

，
∴m=

7

2

，n=

5

4

，
∴P点的坐标为（

7

2

，

5

4

）．
②设CP′交x轴于点D′，当点D′在BC下方时，在y轴负半轴上取点F，使OF=OA=1，
∵△OFA为等腰直角三角形，
∴∠CFA=45°，
∴∠CFA=∠CBD′
∵∠OCA=∠PCB，
∴△FCA∽△BCD′，
∴

CF

FA

=

CB

BD′

，
∴

3+1

2

=

3 2

BD′

，
∴BD′=

3

2

，
∴点D′为（

3

2

，0），
∴过C，D′所在直线的解析式为：y=-2x+3，
∵直线与抛物线交于P′点，设为P′（m′，n′），
∴

n′=m′2-4m′+3 n′=-2m′+3

，
∴P′点的坐标为（2，-1）．
综上两种情况，P点的坐标为（

7

2

，

5

4

）、（2，-1）．

（3）作MN∥AC，CE⊥MN，AF⊥MN，QN⊥BO，
∴四边形CAFE是矩形，
∴∠CME=∠OCA，
∵∠OCA+∠CAO=90°，
∠MCE+∠OCA=90°，
∴∠MCE=∠CAO，
同理可得：要使四边形ACMN为等腰梯形，
∴∠CME=∠ANF，
∵AC∥MN，
∴直线MN的解析式可以设为：y=-3x+3+k，
联立y=x²-4x+3；
得出两图象在第四象限交点的横坐标为：

1+ 1+4k

2

，
分别代入两函数解析式即可得出：纵坐标为：

3

2

+k-

3

2

1+4k

，
∴AQ=

1+ 1+4k

2

-1=

1+4k -1

2

，
QN=

3

2

+k-

3

2

1+4k

，
∵MC=AN，
∴MC²=AQ²+QN²，
∴k²=（

1+4k -1

2

）²+（

3

2

+k-

3

2

1+4k

）²，
解得：k=

10

9

，
∴OM=

10

9

+3=

37

9

，

1+ 1+4k

2

=

5

3

，

3

2

+k-

3

2

1+4k

=-

8

9

，
故此时：M(0，

37

9

)；N(

5

3

，-

8

9

)．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及等腰梯形的性质，题目综合性较强，难度较大，需细心分析得出．