Question

3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，点P在边AB上，若△APC为以AC为腰的等腰三角形，则tan∠BCP=$\frac{1}{2}$或$\frac{7}{24}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理求出AC，分AC=AP和CA=CP两种情况，根据相似三角形的性质定理得到比例式，进行计算，根据正切的定义解答即可．

解答 解：∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=3．
如图1，当AC=AP时，作PD⊥BC于D，
则BP=AB-AP=2，
∵∠C=90°，PD⊥BC，
∴PD∥AC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{PD}{AC}$=$\frac{BP}{BA}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{BD}{4}$=$\frac{PD}{3}$=$\frac{2}{5}$，
解得，BD=1.6，PD=1.2，
则CD=4-1.6=2.4，
tan∠BCP=$\frac{PD}{CD}$=$\frac{1}{2}$；
如图2，当CP=CA时，作CE⊥AB于E，PD⊥BC于D，
∵∠C=90°，CE⊥AB，
∴AC²=AE•AB，
解得，AE=1.8，
∵CP=CA，
∴PE=AE=1.8，
则BP=1.4，
PD∥AC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{PD}{AC}$=$\frac{BP}{BA}$=$\frac{7}{25}$，
∴$\frac{BD}{4}$=$\frac{PD}{3}$=$\frac{7}{25}$，
解得，BD=$\frac{28}{25}$，PD=$\frac{21}{25}$，
则CD=4-$\frac{28}{25}$=$\frac{72}{25}$，
tan∠BCP=$\frac{PD}{CD}$=$\frac{7}{24}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$或$\frac{7}{24}$．

点评 本题考查的是锐角三角函数的定义等腰三角形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．