(本题满分12分)【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.
(1)如图①,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据 ,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况:当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.
(2)如图②,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角,求证:△ABC≌△DEF.
第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,请你用尺规在图③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)
(4)∠B还要满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?请直接写出结论:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,若 ,则△ABC≌△DEF.
(1)HL;(2)略;(3)略;(4) ∠B>∠A时,△ABC≌△DEF.
【解析】
试题解析:(1)【解析】
当∠B、∠E是直角时,
∵AC、DF是直角三角形的斜边,BC、EF是直角三角形的直角边,
∴根据HL可以证明△ABC≌△DEF;
(2)证明:过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G,
过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H,
∵∠B=∠E,
∴180°-∠B=180°-∠E,
∴∠CBG=∠FEH,
在△CBG和△FEH中,
,
∴△CBG≌△FEH,
∴CG=FH,
在Rt△ACG和Rt△DFH中,
,
∴Rt△ACG≌Rt△DFH,
∴∠A=∠D,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF;
(3)作图如下,
△ABC与△DEF不全等;
(4)当∠B>∠A时,△ABC≌△DEF.
考点:全等三角形的判定
点评:本题主要考查了全等三角形的判定.全等三角形的判定方法有:边边边、边角边、角边角、角角边,直角三角形全等判定方法有HL;在证明三角形全等时应注意对应相等的条件之间的位置关系.
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(1)请画出这个几何体的左视图和俯视图;(用阴影表示)
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