Question

4．如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，点E是AC的中点，联结BE，过点C作CD∥BE，且∠ADC=90°，在DC取点F，使DF=BE，分别联结BD、EF．
（1）求证：DE=BE；
（2）求证：EF垂直平分BD．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上的中线的性质求出BE=DE，根据等腰三角形性质求出即可；
（2）证出DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，证出∠BEF=∠DEF，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E是AC的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}AC$，$DE=\frac{1}{2}AC$．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴BE=DE．
（2）证明：∵CD∥BE，
∴∠BEF=∠DFE．
∵DF=BE，BE=DE，
∴DE=DF．
∴∠DEF=∠DFE．
∴∠BEF=∠DEF．
∴EF垂直平分BD．（等腰三角形三线合一）

点评 本题主要考查对直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形性质等知识点的理解和掌握，能求出BE=DE是解此题的关键．