Question

23、关于x的一元二次方程x²-4x+c=0有实数根，且c为正整数．
（1）求c的值；
（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-4x+c与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；
（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m，n），当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若关于x的一元二次方程有实数根，那么根的判别式必大于等于0，可据此求出c的取值范围，由于c为正整数，即可求出符合条件的c值．
（2）首先根据方程有两个整数根以及抛物线与x轴有两个不同的交点，确定c的值，从而得到抛物线的解析式和对称轴方程；由于四边形OBPC是直角梯形，且CP∥OB，P在抛物线的对称轴上，那么PC的长正好与抛物线对称轴的值相同，由此得解．
（3）首先将（2）所得抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到此时顶点D的坐标；
①抛物线向左平移，可先设出平移后抛物线的解析式；当点P位于抛物线对称轴右侧的函数图象上时，可将点P坐标代入抛物线的解析式中，即可求得平移的距离；当点O位于抛物线对称轴右侧的函数图象上时，将点O的坐标代入抛物线的解析式中，同样能求出此时平移的距离；根据上面两种情况所得的m值，即可得到m的取值范围．
②抛物线向右平移，方法同①．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-4x+c=0有实数根，
∴△=16-4c≥0，∴c≤4．（1分）
又∵c为正整数，∴c=1，2，3，4．（2分）

（2）∵方程两根均为整数，∴c=3，4；（3分）
又∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴c=3；
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3；（4分）
∴抛物线的对称轴为x=2．
∵四边形OBPC为直角梯形，且∠COB=90°，
∴PC∥BO，∵P点在对称轴上，∴PC=2．（5分）

（3）由（2）知：y=x²-4x+3=（x-2）²-1；
①当抛物线向左平移时，设平移后的抛物线解析式为：y=（x-2+k）²-1；
易知P（2，3），当抛物线对称轴右侧的函数图象经过点P时，则有：
（2-2+k）²-1=3，
解得k=2（负值舍去）；
即y=x²-1，此时m=0；
当抛物线对称轴右侧的函数图象经过点O时，则有：
（0-2+k）²-1=0，
解得k=1（舍去），k=3；
即y=（x-1）²-1，此时m=-1；
故当抛物线向作平移时，-2＜m≤0（或-1≤m≤0）．
②当抛物线向右平移时，同①可求得2＜m≤4；
综上所述，-2＜m≤0或2＜m≤4．（7分）（写对一个给1分）

点评：此题考查了根的判别式、直角梯形的性质、二次函数解析式的确定以及函数图象的平移等知识．在（3）题中，抛物线向左或向右平移都有符合条件的m值，因此需要分类讨论，以免漏解．