Question

13．如图，AB是⊙O的直径，射线AM经过⊙O上的点E，弦AC平分∠MAB，过点C作CD⊥AM，垂足为D．
（1）请用尺规作图将图形补充完整，不写作法，保留痕迹，并证明：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=8，CD=2$\sqrt{3}$，求弦AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，连接C，由等腰三角形的性质和角平分线的定义证出AM∥OC，即可得出结论；
（2）作OF⊥AM，垂足为F，则四边形OCDF是矩形，得出OF=CD，由勾股定理求出AF，由垂径定理即可求出AE的长．

解答 （1）作图如图1所示：
证明：连接OC，则OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA
∵AC平分∠MAB，
∴∠OAC=∠MAC
∴∠OCA=∠MAC，
∴AM∥OC，
∵CD⊥AM，垂足为D，
∴∠CDM=90°
∴∠OCD=∠CDM=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：作OF⊥AM，垂足为F，
则AF=EF，四边形OCDF是矩形，
∴$OF=CD=2\sqrt{3}$，
在Rt△AOF中，∵AF²+OF²=OA²
∴$AF=\sqrt{O{A^2}-O{F^2}}=\sqrt{{{（\frac{1}{2}AB）}^2}-O{F^2}}=2$，
∴AE=2AF=4．

点评 本题考查了切线的判定、平行线的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理等知识；本题综合性强，有一定难度．