Question

17．如图，△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB边上一动点，CE⊥CD（点E在CD右侧），CD=CE，DE交BC于F．
（1）求证：△ACD∽△BDF；
（2）若$\frac{BF}{CF}$=$\frac{3}{5}$，DF＜EF，求$\frac{DF}{EF}$的值；
（3）若AC=18$\sqrt{2}$、CD=6$\sqrt{13}$，求△CDF的面积．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠A=∠B，∠ACD=∠BDF即可．
（2）如图2中，连接EB，作FM⊥EB，FN⊥AB存在分别为M、N，先证明$\frac{DF}{EF}$=$\frac{DB}{EB}$=$\frac{DB}{AD}$，设BF=3k，CF=5k则AC=BC=8k，AB=8$\sqrt{2}$k，设BD=x，由△ACD∽△BDF，得到$\frac{FB}{AD}$=$\frac{DB}{AC}$，列出方程即可解决问题．
（3）分两种情形如图3中，当AD＞BD时，作CM⊥AB于M，DN⊥BC于N．如图4中，当AD＜BD时，作CM⊥AB于M，DN⊥BC于N．分别求出DN、CF即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠ECF，
∵∠B=∠E=45°，∠EFC=∠BFD，
∴∠ECF=∠BDF，
∴∠BDF=∠ACD，
∵∠A=∠B=45°，
∴△ACD∽△BDF．

（2）解：如图2中，连接EB，作FM⊥EB，FN⊥AB存在分别为M、N．

在△CAD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△CBE，
∴AD=BE，∠CBE=45°，
∴∠FBD=∠FBE，
∵FM⊥EB，FN⊥AB，
∴FN=FM，
∴$\frac{{S}_{△EFB}}{{S}_{△FDB}}$=$\frac{\frac{1}{2}•EB•FM}{\frac{1}{2}•DB•FN}$=$\frac{EF}{DF}$，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{DB}{EB}$=$\frac{DB}{AD}$，
由题意可以设BF=3k，CF=5k则AC=BC=8k，AB=8$\sqrt{2}$k，设BD=x，
∵△ACD∽△BDF，
∴$\frac{FB}{AD}$=$\frac{DB}{AC}$，
∴$\frac{3k}{8\sqrt{2}k-x}$=$\frac{x}{8k}$，解得x=2$\sqrt{2}$k或6$\sqrt{2}$k（舍弃），
∴AD=6$\sqrt{2}$k，BD=2$\sqrt{2}$k，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{DB}{AD}$=$\frac{2\sqrt{2}k}{6\sqrt{2}k}$=$\frac{1}{3}$．

（3）如图3中，当AD＞BD时，作CM⊥AB于M，DN⊥BC于N．

∵△ACM是等腰直角三角形，AC=18$\sqrt{2}$，
∴AM=CM=BM=18，
在Rt△CMD中，DM=$\sqrt{C{D}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{13}）^{2}-1{8}^{2}}$=12，
∴AD=30，BD=6，DN=BN=3$\sqrt{2}$，
∵△ACD∽△BDF，
∴$\frac{BF}{AD}$=$\frac{BD}{AC}$，
∴BF=5$\sqrt{2}$，CF=13$\sqrt{2}$，
∴S_△DCF=$\frac{1}{2}$•CF•DN=$\frac{1}{2}$×$13\sqrt{2}$×$3\sqrt{2}$=39．
如图4中，当AD＜BD时，作CM⊥AB于M，DN⊥BC于N．

同理可得，DM=12，AD=6，DB=30，DN=BN=15$\sqrt{2}$，BF=5$\sqrt{2}$，CF=13$\sqrt{2}$，
∴S_△CDF=$\frac{1}{2}$•CF•DN=$\frac{1}{2}$×$13\sqrt{2}$×15$\sqrt{2}$=195．
综上所述△CDF的面积为39或195

点评 本题考查相似三角形综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，题目有一点难度，最后一个问题，注意有两种情形，不能漏解，属于中考压轴题．