Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接DE.

（1）求证：DE是半圆⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OD，OE，BD，

∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，
OB=OD，OE=OE，BE=DE，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠ODE=∠ABC=90°，
则DE为圆O的切线
（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC= AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=60°，DE=CE，
∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，
则AD=AC﹣DC=6．
【解析】（1）连接OD，OE，由AB为圆的直径得到△BCD为直角三角形，再由E为斜边BC的中点，可证得DE=BE=DC，利用SSS可证得△OBE≌△ODE，由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直，即可得证。
（2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC为AC的一半，根据BC=2DE求出BC的长，确定出AC的长，再由∠C=60°，DE=EC得到三角形EDC为等边三角形，可得出DC的长，由AC-CD即可求出AD的长。