Question

阅读下面材料，再回答问题．
一般地，如果函数y=f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（-x）=f（x）．那么y=f（x）就叫偶函数．如果函数y=f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（-x）=-f（x）．那么y=f（x）就叫奇函数．
例如：f（x）=x⁴
当x取任意实数时，f（-x）=（-x）⁴=x⁴∴f（-x）=f（x）∴f（x）=x⁴是偶函数．
又如：f（x）=2x³-x．
当x取任意实数时，∵f（-x）=2（-x）³-（-x）=-2x³+x=-（2x³-x）∴f（-x）=-f（x）∴f（x）=2x³-x是奇函数．
问题1：下列函数中：①y=x²+1②y=

5

x3

③y=

x+1

④y=x+

1

x

⑤y=x^-2-2|x|
是奇函数的有

 

；是偶函数的有

 

（填序号）
问题2：仿照例证明：函数④或⑤是奇函数还是偶函数（选择其中之一）     （4分）

Answer 1

分析：（1）根据题目信息，求出f（-x）的值，如果f（-x）=f（x），则是偶函数，如果f（-x）=-f（x），则是奇函数；
（2）同（1）的思路进行计算即可证明．

解答：解：问题1：①y=（-x）²+1=x²+1，
∴①是偶函数；
②y=

5

(-x)3

=-

5

x3

，
∴②是奇函数；
③y=

-x+1

≠

x+1

≠-

x+1

，
∴③既不是奇函数，也不是偶函数；
④y=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

），
∴④是奇函数；
⑤y=（-x）^-2-2|-x|=x^-2-2|x|，
∴⑤是偶函数，
故答案为：奇函数有②④；偶函数有①⑤；…（4分）

问题2：证明：④∵当x≠0时，
f（-x）=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
∴y=x+

1

x

是奇函数，
⑤∵f（-x）=（-x）^-2-2|-x|=x^-2-2|x|=f（x），
∴y=x^-2-2|x|是偶函数．

点评：本题考查了奇函数与偶函数的定义，根据题目提供信息，看懂题意准确找出题目的解题思路是解题的关键．