Question

17．如图，OA⊥OB，AB⊥x轴于C，点A（$\sqrt{3}$，1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上．
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使S_△AOP=$\frac{1}{2}$S_△AOB，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出答案；
（2）求出∠A=60°，∠B=30°，求出线段OA和OB，求出△AOB的面积，根据已知S_△AOP=$\frac{1}{2}$S_△AOB，求出OP长，即可求出答案．

解答 解：（1）把A（$\sqrt{3}$，1）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$得：k=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
所以反比例函数的表达式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；

（2）∵A（$\sqrt{3}$，1），OA⊥AB，AB⊥x轴于C，
∴OC=$\sqrt{3}$，AC=1，
OA=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，
∵tanA=$\frac{OC}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠A=60°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠B=30°，
∴OB=2OC-2$\sqrt{3}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}OA•OB$=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∵S_△AOP=$\frac{1}{2}$S_△AOB，
∴$\frac{1}{2}×OP×AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}$，
∵AC=1，
∴OP=2$\sqrt{3}$，
∴点P的坐标为（-2$\sqrt{3}$，0）．

点评 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，解直角三角形等知识点，能求出函数的解析式和求出△AOB的面积是解此题的关键．